51

10.Изображения производных и интеграла от оригинала.

10.1. Найти изображение

y 00(t) −y 0(t) −y(t),

если y(0) = y 0(0) = 0 и y(p) + y(t) .

Решение. По теореме дифференцирования оригинала (см. ф. 3-4 табл. 1) имеем:

y 0(t) + py(p) −y(0) = py(p),

y 00(t) + p2y(p) − py(0) −y 0(0) = p2y(p).

Отсюда находим с учетом свойства линейности

y 00(t) −y0(t) −y(t) + (p2 − p −1)y(p).

10.2. Найти изображение

t

Z

y 0(t) + y(t) + y(τ)dτ,

0

если y(0) = 1 и y(p) + y(t) .

Решение. По теореме дифференцирования и интегрирования оригинала имеем

y 0(t) + py		(p) −y(0) = py				(p) −1,		(ф. 3 табл. 1)
Z	t
				p
		y(τ)dτ +	y( )		.		(ф. 5 табл. 1)
			p
0

www.mitht.ru/e-library

52

Отсюда находим

t

y 0(t) + y(t) + Z y(τ)dτ + py(p) −1 + y(p) + y(p) = p

0

= p2 + p + 1 y(p) −1. p

10.3. Найти изображение

F(t) = y(t) −2y 0(t),

если y(0) = 0 , y(t) + y(p) . 10.4. Найти изображение

F(t) = y 000(t) −y 00(t) + 2y 0(t) −2y(t),

если y(0) = 0 , y 0(0) = 1 , y 00(0) = 2 , y(t) + y(p) .

10.5.	Найти изображение
			F(t,x) =	∂T (x,t)		−a	∂2T (x,t)
								.
				∂t			∂x2
если T (x,t) →			(x, p) .
		T
10.6.	Найти изображение

t

Z

F(t) = y 0(t) − y(τ)dτ,

0

если y(0) = 0 , y(t) + y(p) .

www.mitht.ru/e-library

53

Ответы:

10.3. F(p) = (1 −2p)y(p) .

10.4. F(p) = p3 − p2 + 2p −2 y(p) − p −1 .

10.5. F(p) = T (x, p) −T (x,0) −a d2T (x, p) . dx2

10.6.F(p) = y(p)(p2 −1) .

p

www.mitht.ru/e-library

54

11.Отыскание оригинала по изображению.

При отыскании оригинала по изображению в простейших случаях используют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разложения и свертки функций.

Найти оригиналы следующих функций:

p

11.1. f (p) = p2 −2p + 5 .

Решение. Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму таких дробей, оригиналы которых известны по таблице:

p	=	p −1 + 1		=	p −1	+	1	.
p2 −2p + 5		(p −1)2 +	4		(p −1)2 + 4
							(p −1)2 + 4

(В знаменателе выделили полный квадрат.) По формулам 13, 12 табл. 2 имеем:

p −1

+ et cos 2t

(λ = 1,w = 2);

(p −1)2 + 22

1

1

2

1

et sin 2t

(λ = 1,w = 2).

+

+

(p −1)2 + 22

2

(p −1)2 + 22

2

Поэтому

p		+ et	cos 2t +	1		sin 2t	= f (t).
(p −1)2 + 4					2

				1
	11.2. Найти оригинал функции	f (p) =			.
				p3 −8

www.mitht.ru/e-library

55

Решение. В этом примере используем элементарные приемы разложения, известные из интегрального исчисления. Разложим данную дробь на простейшие дроби:

1			=	A	+	Bp +C	.
	p3 +
		8 p −2 p2 + 2p + 4
Для определения коэффициентов имеем тождество
1 ≡ A(p2 + 2p + 4) + (Bp +C)(p −2).

Полагая p = 2 , находим 1 = 12A ; A = 121 . Приравнивая коэффициент при p2 нулю и свободный член — единице, получим систему двух линейных, алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов B и C :

																			p2				A + B = 0
																			p				4A −2C = 1
Отсюда B = −A = −															1				, C = 2A − 21 = −31 . Следовательно,
															12
1				1						1			1										p + 4
			=									−																	=
	p3 −8				12				p −2							12					p2 + 2p + 4														1 (p + 1) +								√							2
																													12																3
																									=								−							(p + 1)2 +				√			3				2		.
																												p				2			12
Таким образом,																														−				√						√
				1					1				1										p + 1
																																				3					3
	f (p) =										−																					−																				.
				12 p					−	2			12						(p			2				√					2			12					2					√							2
																													3																	3
																						+ 1) +																	(p + 1) +
Отсюда, используя ф. 4, 13, 12																								табл. 2:
																		1					+ e2t			(α = 2);
																	p −2

www.mitht.ru/e-library

56

p + 1

t

√

√

+ e− cos 3t

(λ = −1,w =

3);

(

p

+

1 2 +

√

2

3

)√

√

√

3

t

(λ = −1,w =

+ e− sin(

3t)

3),

(p + 1)2 +

√

2

3

находим

f (t) =

1

e2t

=

1

e−t hcos(√

t) + √

sin(√

t)i.

3

3

3

1212

11.3.Найти оригинал функции

		p + 1
f (p) =			.
		p(p −1)(p −2)(p −3)

Решение. Поскольку в данном случае все корни знаменателя действительные и простые (однократные), лучше всего воспользоваться теоремой разложения ф. 15 табл. 1 (при f 1(p) ≡ u(p) , f 2(p) ≡ v(p) ). Имеем:

u(p) = p + 1;

v(p) = p(p −1)(p −2)(p −3) ≡ p4 −6p3 + 11p2 −6p; v 0(p) = 4p3 −18p2 + 22p −6.

Находим корни уравнения

v(p) = 0 : p1 = 0 ,

p2 = 1

,

p3 = 2 ,

p4 = 3 . Далее получим

u(p1)

1

u(p2)

u(p3)

3

u(p4)

2

= −

;

= 1;

= −

;

=

.

v 0(p1)

6

v 0(p2)

v 0(p3)

2

v 0(p4)

3

Отсюда по формуле 15 табл. 1 находим

1

t

3

2t

2

3t

f (t) = −

+ e

−

e

+

e

.

6

2

3

www.mitht.ru/e-library

57

11.4.

Пользуясь теоремой свертывания, найти оригинал

функции (ф. 14 табл. 1)

p

f (p) =

.

p4 −1

p

1

Решение.

Запишем f (p) в виде f (p) =

. В силу

p2−1

p2+1

того, что

p

+ cht (ф. 8 табл. 2 при λ = 1 ) и

1

+ sint (ф. 5

2

2

p −1

p

+1

табл. 1 при w = 1 ) по теореме о свертке (ф. 14 табл. 1), имеем

t

p

+ Z

ch(t −τ) sin τdτ =

p4 1

−

0

t

= −

=

2

(cht −sht).

2 hsh(t −τ) sin τ + ch(t −τ) ch τi 0

1

1

Здесь было произведено интегрирование по частям.

Найти оригиналы по данным изображениям.

1

11.5.

f (p) =

.

p(p2 + 1)(p2 + 4)

1

11.6.

f (p) =

.

(p −1)(p2 −4)

p + 3

11.7.

f (p) =

.

p(p2 −4p + 3)

1

11.8.

f (p) =

.

p(p4 −5p2 + 4)

11.9.

Пользуясь теоремой свертывания,

найти оригинал

p2

функции

f (p) =

.

(p2 + 1)2

www.mitht.ru/e-library

58

11.10. Найти свертку функции t и cost и ее изображение. Ответы:

11.5.f (t) = 1 − 1 cost + 1 cos 2t .

4

3

12

11.6.f (t) = −1 et + 1 e2t + 1 e−2t .

3

4

12

11.7.f (t) = 1 −2et + e3t .

11.8.f (t) = 1 − 1 cht + 1 ch 2t .

	4	3		12
11.9.	t	cos(t −τ) cos					τdτ =		1			(sint + t cost) .
	f (t) =								2
	R
	0
		1			p				1
11.10.	t cost +					=							.
			p2		p2 + 1			p(p2 + 1)

www.mitht.ru/e-library