27

5.Теорема о предельных значениях

Эта теорема представляет большой интерес для практики, так как в ряде случаев при решении краевых задач теплопроводности и диффузии достаточно ограничиться знанием температурного поля или распределения концентрации растворенного вещества для начальных моментов времени от начала процесса тепло или массопереноса или, наоборот, для больших (по сравнению с характерным временем процесса) времен. Преобразование Лапласа в этом отношении обладает полезным свойством, состоящим в том,

что по асимптотическому поведению изображения f (p) можно найти соответствующее асимптотическое поведение оригинала.

Приведем эту теорему без доказательства. Подробнее см. [10].

Теорема. Если f (t) является оригиналом вместе со своей производной f 0(t) и f (p) + f (t) , то

lim p f (p) = f (0),

p→∞

(0) = t

где

p

→

∞

внутри угла |arg

p

| <

2

−

δ

( > 0) и

f

0+

( ) ;

π

δ

lim

f t

если, кроме того, существует

→

lim f (t) = f (∞),

t→∞

то lim p f (p) = f (∞) , где p → 0 внутри того же угла.

p→0

www.mitht.ru/e-library

28

6.Операционный метод решения краевых задач нестационарной теплопроводности

Операционный метод решения краевых задач теплопроводности проиллюстрируем на примере решения первой краевой задачи теплопроводности для бесконечной пластины 0 ≤ x ≤ l с нулевой начальной температурой и температурой ϕ1(t) при x = 0 и ϕ2(t) при x = l . Математическая формулировка этой задачи имеет вид:

	∂t	= a	∂x2	,
	∂T (x,t)		∂2T (x,t)

T (x,0) = 0,

T (0,t) = ϕ (t),

1

T (l,t) = ϕ (t),

2

0	< x < l, t > 0	(47)
0	≤ x ≤ l,	(48)
t ≥ 0,		(49)
t ≥ 0.		(50)

Здесь T (x,t) — температура в точке x в момент времени t . Решение. Преобразуем уравнение (47) по формуле (1) пре-

образования Лапласа.

∞

Z ∂T (x,t)e−pt dt = a

∂t

∞

Z e−pt ∂2T (x,t)dt.

∂x2

0

0

В левой части этого равенства воспользуемся свойством (4) (изображение производной), а в правой части поменяем местами операции интегрирования и дифференцирования. (Это возможно при равномерной сходимости интеграла.) В результате получим:

				d2	T	(x, p)
	pT (x, p) = a						, 0	< x < l,	(51)
					dx2

www.mitht.ru/e-library

29

∞

где T (x, p) = R e−pt T (x,t)dt .

0

Общее решение (51) удобно представить в виде:

T (x, p) = A(p) sh

xr

+ B(p) sh

(l −x)r

.

(52)

a

a

p

p

Неизвестные коэффициенты A и B найдем, удовлетворяя граничным условиям (49) и (50), которые имеют вид в пространстве изображений:

		(0, p) = ϕ1(p)	(53)
T
	(l, p) = ϕ2(p).		(54)
T

Подставляя (53) и (54) выражение (52), найдем A(p) , B(p) :

A(p) =

ϕ2(p)

, B(p) =

ϕ1(p)

.

sh

lqa

lqa

sh

p

p

Подставляя полученные выражения в (52), получаем решение задачи (47)–(50) в изображении:

q

q

sh

(l −x)

p

sh

x

p

a

a

T (x, p) = ϕ1(p)

+ ϕ2(p)

.

(55)

sh

lqa

sh

lqa

p

p

Переходя к оригиналу, с учетом теоремы о свертке, находим

t	ϕ1(τ)W1(x,t −τ)dτ + Z	t
T (x,t) = Z		ϕ2(t)W2(x,t −τ)dτ. (56)
0	0

www.mitht.ru/e-library

30

Здесь

q

p

sh (l −x)

W1(x,t) +

a

,

q

p

sh

l

p

q

a

W2

(x,t) +

p

.

sh

x

a

sh lq

a

	Оригиналы записанных функций найдем, воспользовавшись те-
		∞	z2k+1
	оремой разложения. Так как	sh z = å		, то отношения ги-
			(2k+1)!
		k=0

перболических синусов, через которые выражаются изображения функций W1(x,t) и W2(x,t) , удовлетворяют обобщению теоремы разложения (если домножить числитель и знаменатель на √p ), сформулированному выше. Применяя эту теорему в рассматриваемом случае, получим (формула (43)):

q

p

q

sh (l −x)

p

∞

(l −x)

p

a

+ å

sh

a

epkt ,

(57)

sh lqa

k=1 hsh lq

a

i0p=pk

p

где pk — корни уравнения

sh

lr

= 0.

(58)

a

p

Для определения корней этого уравнения воспользуемся тем, что sh x = −i sin ix . Тогда (58) примет вид

sin	ilr		a	= 0,
			p

www.mitht.ru/e-library

								31
откуда следует, что
ilr				= kπ,		k = 0,±1,±2,...		(59)
		ak
		p
				πk			2
pk = −a
							, k = 0,±1,±2,...	(60)
					l

Подставляя pk в (57), учитывая при этом, что ch ix = cos x, i sh ix = −sin ix,

получим

q

sh (l −x)

p

2πa ∞ sh (l x)πlik

πk

)2at

a

(

ch

sh l

+

l

2

k=0

i

−

=

p

å

πk

ke

l

qa

−

2πa

∞

π

k

πk

2

i sin (l −x)

l

ke

(

)

at

l

k=0

=

l2

å

( 1)ki

−

=

2πa

∞

−

kπ(l −x)

e−(

πk

)2at =

=

å

( 1)kk sin

l

2

l

k=0

−

l

2πa

∞

kπx

e−(

πk

)2at ;

=

å k sin

l

2

l

здесь учтено, что

l

k=0

sin

kπ l

x

= sin kπ −

kπx

= (−1)k sin

kπx

( −

)

l

l

l

Аналогичным образом находим, что

q

+

2

2

å(

1)kk sin

e−( l ) at ;

p

sh

x

p

πa

∞

kπx

πk

2

a

−

k=1 −

sh l

l

l

q

a

www.mitht.ru/e-library

32

подставляя найденные оригиналы в (56), получим искомое решение:

T (x,t) =	2πa		∞		kπx			×
			k=1
	l	2				l
			å k sin
			×Z	t		πk	)2a(t−τ)
				e−(					ϕ1	(τ) + (−1)k+1ϕ2	(τ) dτ. (61)
						l
			0					h			i

Полученное выражение для T (x,t) совпадает с известным решением этой же задачи методом интегральных преобразований по координате.

Операционный метод позволяет получить решение рассмотренной краевой задачи в другой форме, более пригодной для расчета профиля температуры при малых значениях критерия Фурье Fo = atl2 1 , в то время как формула (61) удобна для нахождения T (x,t) при Fo ≥ 1 . Для получения решения (47)–(50) в случае, когда Fo 1 , разложим изображение функции W1(x,t) в ряд:

q

sh

(l −x)

p

a

W1(x,t) +

=

sh lqa

p

p

p

=

−

q

−

−

−p

q

=

p

exp

(l

x)

exp

(l

x)

a

a

exp lqp

−exp −lq

p

a

a

=

− q

−

−(p

−

)q

=

a

a

exp

x

exp

2l

x

1 −exp

−2lq

a

∞

− r

a

−

− −

r

a

n=0

−

r

a

= exp x

p

exp

(2l

x)

p

å exp

2nl

p

=

www.mitht.ru/e-library

33

∞

∞

−

ra

−

−

ra

n=0

−n=0

= å exp

(2nl + x)

p

å exp

(2l(n +

1)

x)

p

.

Здесь было использовано разложение

1

= 1 + x + x2 + ... + xn + ...

1 −x

Воспользуемся формулой (см. табл. 2)

α√

α

α2

p

+

e−

e−

4t ;

2√πt3

тогда оригинал W1(x,t) имеет следующий вид:

∞

2

2

"n=0

−

4at

−

W1(x,t) =

1

√πat3

å

(2nl + x) exp

(2nl

+ x)

#

∞

−

−

4at

2

−n=1

å(2nl

x) exp

(2nl

−x)

=

2√πat3

"n=0

−

4at

1

∞

(2nl + x)2

=

å(2nl + x) exp

−

+

#

n=−∞

4at

−1

(2nl

+ x)2

Таким образом,

+ å (2nl + x) exp

.

−

∞

2

2

n= ∞

4at

W1(x,t) =

1

√πat3

å

(2nl

+ x) exp

(2nl + x)

.

(62)

−

Функция W1(x,t) может быть выражена через тэта-функцию Якоби

∞

−

2

∞

−

t

2

√πt n= ∞

t

√πt n= ∞

Θ(x,t) =

1

å exp

(x −n)

=

1

å exp

(x + n)

.

−

−

(63)

www.mitht.ru/e-library

34

Нетрудно видеть, что

a ∂

x

at

W1(x,t) = −

Θ

,

.

(64)

l

∂x

2l

l2

Аналогичным образом находим, что

2

l ∂x

2l

l2

W

(x,t) =

a

∂

Θ

l −x

,

at

.

(65)

Таким образом, решение T (x,t) при Fo 1 можно записать с учетом (64), (65) в виде

t

T (x,t) = −a Z l

0

ϕ1(τ)

∂

Θ

x

,

a

(t −τ)

∂x

2l

l2

a

t

∂

Z ϕ2(τ)

Θ

+

l

∂x

dτ+
2l		l2		−
l −x	,	a	(t		τ)	dτ. (66)

0

Это решение удобно для малых значений Fo, так как ряд (62) быстро сходится при малых значениях t . На этом конкретном примере видно большое преимущество операционного метода, который позволяет получить решение одной и той же задачи в двух видах: одно удобной для расчетов при малых значениях Fo, другое — при больших значениях Fo.

www.mitht.ru/e-library