Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В. Ломоносова

Предмет:

Кристаллография

Файл:

Дифракционные методы анализа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

на четвертой позиции – плоскости симметрии, являющиеся диагональными плоскостями {110}. Перпендикулярно плоскостям симметрии в данной пространственной группе расположены три оси 4-го порядка по осям координат и шесть осей 2-го порядка по направлениям <110>. Такая кристаллическая решётка имеет центр симметрии, поскольку перпендикулярно чётным осям проходят плоскости симметрии. Данная кристаллическая структура имеет гранецентрированную кубическую решётку, которая обозначается первым символом пространственной группы F. Таким образом, кристаллическая структура Fm3m описывается ГЦК решёткой, которая имеет три оси 4-го порядка, четыре оси 3-го порядка, шесть осей 2-го порядка, девять плоскостей симметрии и центр симметрии, что записывается следующим образом: 3L44L36L29PC.

2.ПОНЯТИЕ ОБ ОБРАТНОЙ РЕШЕТКЕ

2.1.Единичные трансляционные векторы обратной решётки

Обратная решетка – это математический образ, применяемый для установления соотношений между различными параметрами кристаллической решетки и величинами, определяющими то или иное физическое свойство кристалла.

Пространственная решетка кристалла, определяемая тремя векторами

трансляции а1 , а2 , а3 – называется прямой или атомной, так как в её узлах
расположены атомы (молекулы, ионы);
				= u а1 + v а2 + w а3 ,	(2.1)
			R
где		- радиус-вектор прямой решётки,			соединяющей её начало с узлом с
	R

координатами [[ a1a2 a3 ]]

С помощью определенных математических построений единичные

трансляционные векторы прямой решётки a1 , a2 , a3

( a,

,с ) заменяются

трансляционными векторами обратной решетки

b1 ,b2 ,b3 ( a * ,b * ,с* )

[a2 a3 ]

;

[a3a1 ]

;

[a1a2 ]

(2.2)

b1 =

b2 =

b3 =

]

[a a ]

]

[a a

где V – объём элементарной ячейки.

R * = bqpr = qb1 + рb2 + rb3 - называется вектором обратной решетки, где [[q, p, r ]] – координатные узлы обратной решётки.

Если знаменатель скаляр, то направление b1 определяется направлением

[a2 a3 ] (рис.2.1). По свойству векторного произведения он перпендикулярен к плоскости, определяемой векторами а2 и а3 :

а1[a2 a3 ]

= 1

b1 а1 =

]

а3 =1

b1 а1 =b2 а2 =b3

= 1

(2.3)

b1 а1 =b1a1 cosb1

b1 a1 = 0 ,

а1

Рис.2.1. Взаимная ориентация векторов прямого и обратного пространства

т.е. условие параллельности (коллинеарности) векторов:

b1 || а1 , b2 || а2 , b3 || а3 , что характерно для ромбических сингоний, т.е. прямой и обратный единичные (трансляционные) векторы взаимно параллельны

(рис.2.1).

Таким образом, для ромбических сингоний: кубической, тетрагональной и

ромбической

a =

[a2 a3 ]a1

= 0

[a2 a3 ] - даёт вектор перпендикулярный к а1 , его

b1 а1 =

скалярное произведение с а1 = 0, cos 90o= 0.

(a1b2 ) = (a1b3 ) = (a2b1 ) = 0 .

Следовательно, обратные решетки сохраняют те же сингонии, что и прямые решетки: кубическая прямая → кубическая обратная, гексагональная прямая → гексагональная обратная и т.д.

2.2. Свойства вектора обратной решетки

1. Вектор обратной решетки b qpr перпендикулярен соответствующей

плоскости прямой решетки (hkl) – рис.2.2.

Необходимо и достаточно доказать, что вектор bqpr перпендикулярен двум

прямым, лежащим в плоскости (hkl) – рис. 2.2:

		С	a3
		С
		a3	N
		l	N
		l
		bqpr
	0		B	a2
	а1	a2	B	a2
	а1	k
	h
		A
			a1
Рис. 2.2.	Ориентировка вектора обратного пространства b qpr			и
соответствующей ему плоскости (hkl) прямого пространства

−

Найдем скалярные произведения:

(

)(

−

) =

(

) +

(

) +

(

) −

) = 0 = (qb

+ pb

+ rb

qpr

−

(

−

= 0 ,

b1a1 ) −

b2 a1 ) −

b3a1 ) =

где

а2 =

а1 =

= 1,

b1 а2 = b3

b3 а1 = 0; b2 a2

b1a1

(

qpr

−

) =

−

= 0 .

) = 0 = (qb1 + pb2

+ rb3 )(

Откуда следует, что для выполнения условия перпендикулярности необходимо,

чтобы qh = kp = rl = n - целое число, в частности q=nh, т.е. bqpr = nbhkl , n = 1,2,3 (порядок отражения).

Поэтому с точностью до целого множителя: вектор обратной решетки (характеризующий её узел) имеет те же индексы, что и плоскости прямой решетки, нормальные к нему.

Следовательно, обратная решетка есть совокупность точек (узлов), каждая из которых отображает семейство параллельных атомных плоскостей и имеет те же индексы (с точностью до общего множителя).

2. Абсолютная величина вектора обратной решетки с индексами hkl равна обратной величине межплоскостного расстояния для плоскостей прямой решетки {hkl}:

				hkl = bhkl =			1	.	(2.4)
			b

							dhkl
	Уравнение плоскости в векторной форме:
			(			nο ) = D = nd ,			(2.5)
					R
где		- радиус-вектор любой точки на					плоскости;		nο - единичный вектор
	R

нормали данной плоскости; Rnο - проекция радиуса-вектора R (любой точки на плоскости) на направление нормали (рис. 2.3);

С1	n \|\|		hkl
		b
	o

B1 B2 а2

а1

Рис. 2.3. Ориентировка вектора обратного пространства bhkl

и перпендикулярных ему плоскостей прямого пространства

bhkl

D – расстояние плоскости от начала координат D = dn, где d - межплоскостное расстояние, n – номер плоскости от начала координат (порядок отражения).

Как доказали раньше, – нормален плоскости (hkl) (рис. 2.2),

т.е.

hkl n , поэтому

hkl

= ndhkl ,

hkl

= no

bhkl

Возьмем любую точку в плоскости А1 В1 С1 или А2 В2 С2 , например А1 или А2

и т.д. Для них

n , следовательно,

a1n

(hb

+ kb

+ lb )

= n dhkl

, т.к.

а1

= 1, a1

= dhkl

b2 = a1b3 = 0 ,то

hkl

hkl =

qpr

Поскольку

hkl ,

то

qpr = nb

bqpr =

(2.6)

Таким образом, обратная решетка есть совокупность узлов, каждый из которых соответствует семейству параллельных атомных плоскостей и

имеет те же индексы.

Узлы обратной решетки строят из прямой решетки путем проведения из нулевого узла нормалей к соответствующим плоскостям. Длина нормали для каждого узла обратной решетки есть величина обратная межплоскостному расстоянию для соответствующих плоскостей. Обратная решетка кристалла обладает той же сингонией, что и прямая. Но ОЦК трансформируется в ГЦК, а ГЦК → ОЦК.

Представления об обратной решётке очень важны при решении структурных задач методом просвечивающей электронной микроскопии (ПЭМ), в большинстве из которых анализируется ориентация конкретных кристаллов, дающая дифракционный контраст на электронномикроскопическом изображении. Определение ориентации тех или иных областей структуры в общем случае для кристаллов любой симметрии требует знания узлов разориентировки между направлениями и нормалями к одноимённым плоскостям. Только для кристаллов кубической симметрии нормали к плоскостям кристалла и одноименные направления совпадают. Анализ прямой

иобратной решёток кристалла позволяет найти связь между плоскостями {hkl}

иодноименными направлениями [hkl] для кристаллов любой симметрии.

Сначала рассмотрим кубические кристаллы. Из уравнений (2.2) и (2.3), с помощью которых вводится обратная решётка, следует, что прямая и обратная решётки имеют одинаковую симметрию и отличаются друг от друга лишь объёмом. На рис. 2.4 представлена связь прямой и обратной кубических решёток на примере плоскостей {011} и направлений <011>.

	[011]	[011]*
(011)	(011)	(011)*

(011)*

Рис. 2.4. Ориентация кристаллографических плоскостей и направлений в прямой и обратных решётках кристаллов кубической сингонии

Пусть | а| = 1, тогда | в| = 1/| а| =1 Отсюда следует, что

(011) || (011)*;

(011) ≡ [011], (011)* ≡ [011]*; [011] || (011)*;

(011) || [011]*.

Таким образом, в кристаллах кубической симметрии одноименные плоскости прямой и обратной решёток, а также одноимённые направления в них совпадают:

(hkl) || (hkl)*; [hkl] || [hkl]* или

в общем случае [UVW] || [UVW]*.

В кристаллах более низкой симметрии, чем кубическая, плоскости и направления с одинаковыми индексами в прямой и обратной решётках находятся под углом друг к другу. Это явление рассмотрено на примере тетрагональной решётки (рис. 2.5), симметрия которой сохраняется в обратном пространстве.

(011)

[011]

(011)*

(011)

[011]*

(011)*

Рис. 2.5. Ориентация кристаллографических плоскостей и направлений в прямой и обратной решётках кристаллов тетрагональной сингонии

а1 = а2 = а, а3 = с, а, с – периоды прямой (кристаллической) тетрагональной решётки;

в1 = в2 = в =	1	, в3 =	1	– периоды обратной тетрагональной решётки
	а		с

Пусть а = 1, с = 2; тогда в1 = 1, в3 = 12 .

Из сравнения элементарных ячеек прямой и обратной решёток, построенных с учетом их размеров, следует, что

(011) не || (011)* и [011] не || [011]*,

но [011] || (011)* и (011) || [011]*,

Поскольку ориентация плоскости в пространстве может быть задана не только расположением лежащих в ней точек, но также и направлением нормали к этой плоскости, то введение понятия “обратной решетки” приводит по существу к тому, что задание ориентации плоскости в пространстве осуществляется с помощью её нормали, т.е. вектора обратной решетки. Нормаль обладает числом измерений на единицу меньшим, чем плоскость, что создает преимущество простоты, особенно в тех случаях, когда одновременно рассматривается совокупность большого числа плоскостей. Одновременно, в ряде случаев, при введении понятия обратной решетки упрощается и математическая интерпретация.

Можно утверждать, что обратная решетка является важным способом для изучения явления дифракции лучей (рентгеновских, электронных) в кристалле.

2.3. Уравнение Лауэ. Сфера Эвальда

Условие получения дифракции рентгеновских лучей и электронов на кристалле описывается в разных моделях уравнениями Вульфа-Брэгга и Лауэ. Уравнение Вульфа-Брэгга

2d sin Θ = nλ,

(2.7)

где d(hkl) – расстояние между плоскостями (hkl) в кристалле, λ – длина волны излучения,

n – порядок отражения, целое число.

Уравнение Вульфа-Брэгга описывает дифракцию на кристалле в прямом пространстве. В обратном пространстве ему эквивалентно уравнение Лауэ:


n1	−	n0		=		qpr ,	(2.8)
n1		n0			в
λ					в
λ			λ

где n0 и n1 - единичные вектора, нормальные к фронту распространения падающего и рассеянного лучей: | n1 | = | n0 | = 1;

вqpr - вектор обратной решетки:

вqpr = q в1 + p в2 + v в3 ,

в1 , в2 , в3 - единичные трансляционные вектора обратной решетки,

q, p, r – координаты узла обратного пространства.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>