Дифракционные методы анализа

53

По размещению полюсов на сфере, образующих полюсную фигуру, можно определить ориентировку кристаллографических плоскостей, т.к. угол между двумя плоскостями в кристалле равен углу между их полюсами.

Стереографическая и гномостереографическая проекции.

Практически более удобно пользоваться не сферой проекций, а её плоским изображением, т.к. как при этом вся работа может быть выполнена на листе бумаги. Необходимо спроектировать сферу без нарушения углов между плоскостями или полюсами. Углы на сфере проектируются на стереографическую проекцию без искажений.

Для этого источник света S (или центр проекции) необходимо поместить в какой-либо точке, лежащей на поверхности сферы, а плоскость проекции расположить перпендикулярно к диаметру, проходящему через центр сферы и центр проекции (рис.3.7). Расстояние плоскости от поверхности сферы не имеет значения, так как, при изменении расстояния меняется только увеличение изображения, но не угловые соотношения.

Внутри основного круга (показанного эллипсом на рис. 3.7) проектируется полусфера, противоположная источнику света.

M′

M

Е’

S

N

Е

L

L′

54

Рис. 3.7. Гномосферическая проекция направлений и плоскостей

Возможно отобразить всю сферу в пределах основного круга при совмещении двух проекций и различать их знаками + и −. Любая плоскость, проходящая через точки NS, рассечёт сферу по большому кругу, который спроектируется на плоскость проекции в виде прямой линии.

Любой большой круг, проходящий через точку N, проектируется на плоскость в виде прямой линии. Отображающий диаметр основного круга проекций (круг SN – горизонтально проектируется в ЕЕ). Большой круг – это окружность на поверхности сферы, радиус которой равен радиусу сферы.

Если большой горизонтальный круг разделить на градусы, то его проекция ЕЕ′ будет служить шкалой для стереографически спроектированных точек, лежащих на горизонтальном круге. Так же наносятся деления на вертикальный круг ML, которые проектируются на основной круг (рис. 3.8).

270о

180о

180о

0о

90о

Рис. 3.8. Отсчёт углов по основному кругу и меридиану

55

По экватору измеряется угол ρ в пределах 0-1800, по основному кругу меридиану - угол ϕ в диапазоне 0-3600 по часовой стрелке.

Таким образом, можно спроектировать на плоскость глобус с линиями широты и долготы (меридианами и параллелями).

Если ось, проходящую через северный и южный полюсы, спроектировать перпендикулярно к плоскости проекции, то стереографическая проекция всех параллелей и меридианов образует сетку Болдырева (рис. 3.9). Если ось, проходящая через северный и южный полюсы сферы, параллельна плоскости проекции, то линии долготы и широты образуют стереографическую сетку, называемую сеткой Вульфа (рис. 3.10).

Рис. 3.9. Сетка Болдырева

Рис. 3.10. Сетка Вульфа

Важно отметить, что углы между пересекающимися плоскостями сохраняются неизменными в стереографической проекции и легко поддаются измерению. Исходя из таких предпосылок, формируются свойства стереографической и гномостереографической проекций.

3.3. Свойства стереографической и гномостереографической проекций

1. На стереографической проекции кристаллографическая плоскость, совпадающая с большим кругом, параллельным плоскости проекции,

изображается основным кругом.

2. Кристаллографические плоскости, совпадающие с большим кругом, перпендикулярным плоскости проекции, проектируются в виде диаметра основного круга.

56

3.Наклонные плоскости изображаются в виде проекций наклонных больших кругов, которые при повороте сетки Вульфа могут совпадать с одним из меридианов.

4.Кристаллографические направления на стереографической проекции изображаются в виде точек (полюсов). Поэтому стереографическая проекция плоскостей, принадлежащих одной зоне, изображаются в виде проекции кругов, пересекающихся в одной точке.

5.Гномостереографическая проекция есть проекция обратной решетки.

Кристаллографические плоскости на гномостереографической проекции изображаются в виде полюсов, а кристаллографические направления в виде проекции больших кругов. Поэтому на гномостереографической проекции полюса плоскостей, принадлежащих одной зоне, лежат на проекции одного круга, который при вращении сетки можно совместить с одним из меридианов.

6.Для кристаллов кубической сингонии можно пользоваться одними и теми же стандартными проекциями при изображении кристалла в стереоили гномостереографической проекциях. Это связано с тем, что в кубической сингонии плоскости и перпендикулярные к ним направления имеют одни и те же индексы, а углы между пересекающимися плоскостями равны углам между нормалями к соответствующим плоскостям.

7.Углы между двумя точками на проекции не изменяются при вращении точек вокруг оси (центра) стереографической проекции.

8.Угол между двумя полюсами на проекции равен разности их широт, угол между двумя точками равен разности их долгот, когда они лежат на экваторе (горизонтальном диаметре). Для измерения угла между двумя полюсами необходимо, поворотом сетки Вульфа вокруг её центра, совместить их с экватором или меридианом, которые служат шкалой для отсчёта угловых градусов.

57

3.4. Стандартные проекции кристаллов Стереографическая проекция полюсов всех важнейших плоскостей и

направлений кристалла с малыми индексами называется стандартной проекцией.

Ясно, что стандартная проекция (стандартная сетка) кубического кристалла может рассматриваться и как стереографическая проекция (тогда в точки-полюсы проектируются кристаллографические направления), и как гномостереографическая проекция (тогда кристаллографические плоскости отображаются полюсами на сетке).

Если оси Х и У кристалла лежат на плоскости проекции, то полюсы плоскостей (100) и (010) расположены на основном круге (рис. 3.11). Ось Z перпендикулярна к плоскости проекции, поэтому полюс плоскости (001) находится в центре этого круга.

Изображение производится путем откладывания углов между полюсами и кристаллографическими осями с помощью стереографической сетки.

Процесс построения значительно сокращается при использовании:

1)свойства симметрии кристалла;

2)зональных соотношений – определении полюсов посредством пересечений кругов зон.

На рис. 3.11 представлена сетка для кубической системы с осью проекции (001). Стандартные проекции с другими плоскостями проекции могут быть получены из стандартной проекции (001) путем вращения сетки.

Стандартные кристаллографические проекции для кристаллов кубической системы одинаковы для всех кристаллических веществ с кубической решёткой. Это объясняется тем, что уравнение, описывающее связь углов между плоскостями и индексами плоскостей в кубической решётке не содержит значений периодов решётки и координатных углов:

cos ϕ (h k l )^ (h		k		l		) =		h1h2	+ k1k2 + l1l2				,	(3.1)
							h2	+ k 2	+ l2	h2	+ k 2
1 1 1	2		2		2							+ l2
						1		1	1	2	2	2

58

1 00

1 1 0

1 1 0

001

0 1 0

010

1 1 0

110

100

Рис. 3.11. Стандартная проекция 001 кристаллов кубической сингонии

Из уравнения (3.1) следует, что в кубических решётках всех типов (примитивной кубической ПК, объемно-центрированной ОЦК, гранецентрированной ГЦК) с любыми периодами углы между плоскостями

59

одинаковы и одинаковы кристаллографические проекции для любых веществ с кубической решёткой.

В кристаллах более низкой симметрии, чем кубическая, углы между плоскостями зависят от соотношений периодов решётки и координатных углов. Например, в тетрагональной решётке

h1h2

+

k1k2

+

l1l2

cos ϕ (h k l )^(h k

l

) =

a2

a2

c2

,

(3.2)

h2

k 2

l2

1 1 1

2 2

2

+

+

h2

+

k 2

+

l2

1

1

1

2

2

2

a2

a2

c2

a2

a2

c2

Следовательно, для кристаллов средних и низших сингоний кристаллографические проекции строятся для конкретных соотношений периодов и координатных углов.

Для гексагональных кристаллов стандартные сетки (0001) построены для кристаллов с определенными соотношениями, например, с/а = 1,86 или = 1,633. Для кристаллов с другими с/а они не годятся. Гномостереографическая проекция для гексагональных кристаллов не совпадает с их стереографической проекцией.

61

ЧАСТЬ 2.

4. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ КРИСТАЛЛОВ СРЕДНИХ СИНГОНИЙ

Многие кристаллические структуры металлов и сплавов имеют симметрию решёток более низкую, чем кубическая. В таких кристаллах плоскости решетки (hkl) в общем случае не совпадают с одноименными плоскостями (hkl)* обратной решётки, а нормали к плоскостям кристаллической решётки не являются одноименными кристаллографическими направлениями. Плоскость электронограммы – плоскость обратной решётки, перпендикулярная оси зоны [UVW] для данной ориентации кристалла, в большинстве случаев не является плоскостью кристаллической решётки с теми же индексами интерференции (рис.4.1). В общем случае нормаль к плоскости прямой кристаллической решетки является одноименным направлением в обратной решетке, а направление в кристаллической решетке представляет собой нормаль к одноименной плоскости обратной решетки.

(011) || [011]*

[011] || (011)*

(011)

(011)*

Рис. 4.1. Сечение электронограммы (011)* для кристаллов с тетрагональной решёткой

62

Это затрудняет структурный анализ, проводимый прежде всего методом просвечивающей электронной микроскопии, поскольку выделяемые на электронно-микроскопических изображениях важные направления в общем случае будут разориентированы с направлениями, лежащими в плоскости электронограммы и проходящими через узлы обратной решётки, хотя могут иметь те же индексы интерференции.

Поэтому решение таких структурных задач, как определение взаимной ориентации разных кристаллов, систем двойникования, ориентационных

соотношений фаз и т.д., удобно проводить с использованием гномостереографических проекций, построенных для плоскостей и направлений кристаллов некубической симметрии, принимая во внимание, что кристаллографические направления являются нормалями к одноименным плоскостям обратной решетки (рис. 4.2).

Гномостереографические проекции плоскостей и направлений для чистых кристаллических веществ или фаз в сплавах некубической симметрии строятся для конкретных значений периодов а, в, с их кристаллической решётки данной сингонии. При этом следует помнить, что гномостереографические проекции направлений кристаллов средних и низких сингоний это есть гномостереографические проекции плоскостей обратной решётки. Поэтому, построив и наложив друг на друга гномостереографические проекции плоскостей прямой кристаллической и обратной решёток с малыми одноименными индексами (учитывая те плоскости (hkl) и (hkl)*, которые совпадают друг с другом в прямом и обратном пространствах), можно определить любое угловое соотношение как между конкретными плоскостями или направлениями, так и между конкретными плоскостями и направлениями в кристаллах не кубических сингоний.

Графическое построение стереографических проекций выполняется с использованием законов зон. Под зоной понимается совокупность плоскостей (hikili), пересекающихся по одному направлению, называемому осью зоны с индексами [UVW] (рис. 4.2).

[UVW]

63

(h1kll1)				(h2k2l2)

(UVW)*

(h2k2l2)	(h2k2l2)
Полюс (h2k2l2)	Полюс (h2k2l2)

Рис. 4.2. Проекция зоны с осью [UVW] на плоскость [UVW]*

Если известны индексы двух плоскостей, принадлежащих зоне, то на основании закона зон, индексы оси зоны могут быть найдены из

следующих соотношений:

U = k1l2 – l1k2; V = l1h2 – l2h1;

W = h1k2 – h2k1.

Аналогично, если известны индексы двух осей зон, которым принадлежит плоскость, то её индексы определяются из подобных соотношений:

h = V1W2 – V2W1; k = W1U2 – W2U1; l = U1V2 – U2V1.

Между индексами оси зоны [UVW] и индексами плоскостей (hkl), входящих в данную зону, существует следующее уравнение: hU + kV + lW = 0, которое определяет условие зональности.

Для построения гномостереографических проекций важно то, что плоскость, индексы которой (h3k3l3) равны сумме одноименных индексов двух плоскостей зоны [UVW], принадлежит той же зоне [UVW]:

h3 = h1 + h2; k3 = k1 + k2;