Дифракционные методы анализа

42

Между индексами интерференции HKL, описывающими рефлекс (линию) на дифракционной картине, и координатами узлов обратного пространства [[qpr]] существует связь:

q = nh = H, p = nk = K, r = nl = L.

Представление об обратной решётке облегчает интерпретацию явления дифракции. Для этого Эвальдом предложено графическое отображение уравнения Лауэ с помощью сферы, названной сферой распространения (сферой Эвальда) – рис.2.6.

Сфера Эвальда строится следующим образом:

1. Если плоскости прямой кристаллической решётки заменить векторами обратной решётки, то есть из одной точки провести перпендикуляры к плоскостям {hkl}, то они являются векторами обратного пространства, абсолютная величина которых будет равна обратной величине приведенного

	межплоскостного расстояния: |		qpr | =	n	=	1	, а углы между векторами		qpr
		в						в
				d(hkl )		dHKL
	равны углам между плоскостями				{hkl}		прямого кристаллического

пространства. Величина векторов обратной решётки и углы между ними определяют симметрию (сингонию) данной кристаллической структуры.

43

h / λ B

A	ϕ
	ϕ	вqpr

h0 / λ

O

Рис. 2.6. Сфера распространения (сфера Эвальда)

При этом соотношения между плоскостями к ним сохраняются в независимости от их ориентировки по отношению к плоскости проекций, а пересечение векторов обратной решётки плоскостью проекций образует сетку из сечений узлов обратного пространства, конфигурация которых определяется

формой отражающего кристалла.

2. В полученном сечении обратного пространства выбирается произвольно нулевой узел. Из нулевого узла в направлении обратном, по отношению к направлению падающего рентгеновского луча, откладывается вектор

величиной | nλ0 | = λ1 , находится центр, из которого радиусом λ1 описывается

сфера Эвальда. Из уравнения Лауэ следует, что векторы, соединяющие центр сферы с узлами обратного пространства, расположенными на её поверхности,

по абсолютной величине равны величине вектора | nλ0 | по направлению

44

падающего луча и соединяются с ним вектором обратной решётки вqpr , т. е. в

этом случае будет выполняться условие дифракции.

Таким образом, в отражающее положение попадают те плоскости кристаллической решётки, для которых узлы обратного пространства лежат на поверхности сферы Эвальда.

По числу узлов, лежащих на поверхности сферы Эвальда, можно определить количество интерференционных максимумов (линий на дифракционной картине), найти их индексы интерференции HKL и углы Вульфа-Брэгга. При этом видно, что дифракция рентгеновских лучей происходит дискретно в определенных фиксированных направлениях.

Из этого анализа следует, что дифракционной характеристикой вещества является ряд значений межплоскостных расстояний d, а также относительных интенсивностей I отражений от этих плоскостей. Сведения о межплоскостных расстояниях d/n, относительных интенсивностей I и соответствующих им индексов интерференции HKL сводятся в таблицы, которые приводятся в справочниках. Каждая фаза имеет свою кристаллическую решётку, значит, характеризуется определенным набором межплоскостных расстояний. Поэтому для решения вопроса о том, какая фаза присутствует в исследуемом материале, достаточно рассчитать рентгенограмму или дифрактограмму, снятую по методу поликристалла, и сравнить полученный ряд межплоскостных расстояний с табличными значениями.

Рентгеноструктурный анализ позволяет установить симметрию, тип и периоды кристаллических решёток чистых веществ, химических и интерметаллических соединений, фаз, образующих сплавы, т. е. определить кристаллическую структуру веществ.

Дифракция электронов на кристалле так же, как и дифракция рентгеновских лучей, описывается уравнением Лауэ. Однако в отличие от последних дифракция электронов описывается в пространстве волнового вектора К , которое отличается от обратного пространства только лишь масштабом.

45

Волновой вектор

имеет вид

=

2π

, отсюда

n

=

K

и уравнение Лауэ

К

К

n

λ

2π

λ

−

в обратном пространстве

n1

n0

=

qpr

описывается

в

пространстве

в

К

λ

λ

выражением

1 -

0 = 2π

qpr ,

(2.9)

К

К

в

где К1 - волновой вектор рассеянных электронных лучей;

К0 - волновой вектор падающих электронных лучей;

вqpr - вектор обратной решётки, соединяющий волновые вектора К0 и К1 .

Вследствие того, что длина волны электронов λ очень мала и составляет

величину порядка 0,04 Å (при напряжении на пушке электронного микроскопа

~80 кв), радиус сферы Эвальда |

n0

| =

1

25 Å

-1

– очень большая величина по

λ

λ

сравнению с величиной вектора обратной решётки

qpr : |

qpr | =

1

= 0,4Å

в

в

d(HKL)

(для дифракционного максимума (110) α-фазы на основе ОЦК решётки α-Fe).

Углы Вульфа-Брэгга для дифракции электронов на кристалле малы и составляют доли градуса (Θ(110) α − Fe 0,5 град.). Поэтому уравнение Лауэ при дифракции электронов изображается графически как небольшой сегмент сферы

Эвальда. Из этого следует, что вектор обратной решётки вqpr лежит в

плоскости, перпендикулярной падающему электронному лучу (рис. 2.7).

Из этих соображений считается, что электрономограмма представляет собой плоское сечение обратного пространства, перпендикулярное падающему лучу электронов. Из сравнения подобных треугольников вытекает (рис. 2.7):

|

к1

|

=

1

2π

λ

|

qpr | = 1/d

2Θ

в

Объект

r

0

1

L

|

|

Ko

=

λ

2π

46

Рис. 2.7. Связь волновых векторовK1 , K2 и вектора обратной решётки

вqpr

1

	tg 2Θ =	d(HKL)	=	r	; r dHKL = λL = C,	(2.10)
		1		L

λ

где dHKL - приведённое межплоскостное расстояние, Å или нм;

r - расстояние от нулевого рефлекса до рефлекса с индексами HKL, мм; λ - длина волны электронов, [Å];

L - расстояние от объекта до плоскости электронограммы, мм;

С - электронографическая постоянная, Å мм.

Расчёт дифракционных картин в ПЭМ производится с помощью уравнения (2.10)

	dHKL =	С		(2.11)
		r
	Значение электронографической			постоянной С находится из

расчета электронограмм эталонных веществ, полученных в тех же условиях, что и электронограммы исследуемого объекта.

48

3.КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Вгеометрической кристаллографии в физическом металловедении обычно не рассматривается внешняя форма, размеры граней и самих кристаллов, так как, например, внешняя форма и размеры кристаллов зависят прежде всего от внешних условий, в которых кристалл образовался.

Главная задача кристаллографии в физическом металловедении – точно отобразить углы между плоскостями. Существует закон постоянства углов: для всех кристаллов одного и того же вещества в одной и той же модификации углы между соответствующими плоскостями одинаковы.

Цель кристаллографических проекций: удобно и точно изобразить и измерять на плоском листе бумаги угловые соотношение между плоскостями, направлениями и элементами их симметрии. С помощью кристаллографических проекций исследуют в металловедении линии скольжения, двойники, выделения новых фаз, ориентировку монокристаллов, преимущественную ориентировку зерен в поликристаллах и целый ряд других задач.

3.1. Кристаллографический и полярный комплексы

Вкристаллографии проектируется не кристалл, а кристаллографический комплекс, полученный от данного кристалла (рис. 3.1).

(100)(010)

(001)

Центр кристаллического комплекса

Рис. 3.1. Кристаллографический комплекс

49

Кристаллографический комплекс получается при параллельном перемещении плоскостей в пространстве до взаимного пересечения их в

одной точке.

В некоторых случаях проектируется полярный комплекс, который обратен кристаллическому (рис.3.2). Полярный комплекс получается при восстановлении из центра кристаллографического комплекса перпендикуляров ко всем плоскостям.

Таким образом, в полярном комплексе плоскость заменяется её нормалью (как в обратной решетке).

			(001)
(0		0)	(010)
	1
(100)			(00		)
				1

Рис. 3.2. Полярный комплекс

В этом тот же смысл, что и при построении обратной решетки: нормаль обладает числом измерений на единицу меньшим, чем плоскость. Следовательно, задание ориентации плоскости с помощью её нормали обладает прежде всего преимуществом простоты, особенно в тех случаях, когда одновременно рассматривается совокупность большого числа плоскостей. В ряде случаев использование представлений об обратной решётке упрощает математический аппарат.

3.2. Виды кристаллографических проекций

50

Для упрощения рассмотрения кристаллографических задач - плоскости или нормали к ним проектируют на различные поверхности (плоскость, сферу),

что	приводит		к	различным		кристаллографическим	проекциям.
В кристаллографии чаще других рассматриваются следующие проекции:
	1)	линейная;		2)	гномоническая;
	3)	сферическая;		4)	гномосферическая;
	5)	стереографическая; 6) гномостереографическая.
	Линейная проекция:			проектируемый объект – кристаллографический

комплекс. Все плоскости и направления проектируются на плоскость, находящуюся на некотором расстоянии от центра кристаллического комплекса

(рис.3.3).

В

N

P

АО

Q

Рис. 3.3. Линейная проекция плоскости Q и направления ON

Линейной проекцией плоскости Q является прямая AB, по которой проектируемая плоскость Q пересекается с плоскостью проекции Р. Линейной проекцией линии кристаллографического направления ON является точка пересечения направления с плоскостью проекции N – полюс.

Несколько плоскостей, параллельных одному направлению в пространстве, образуют зону. В кристаллографическом комплексе все плоскости одной зоны пересекаются по одной прямой, называемой осью зоны

(АВ на рис. 3.4).

51

Влинейной проекции зона изображается пучком прямых, пересекающихся

водной точке (точка В на рис. 3.4).

ВР

Ось зоны

А

Рис. 3.4. Линейная проекция кристаллографической зоны

Недостаток линейной проекции, который ограничивает её распространение: для проектирования всего кристалла требуется бесконечная плоскость проекции.

Гномоническая проекция. Проектируемый объект – полярный комплекс. Все линии и плоскости комплекса проектируются на плоскость, расположенную на некотором расстоянии от центра комплекса (рис. 3.5).

В гномонической проекции плоскость кристалла изображается полюсом (N на рис. 3.5) - точкой пересечения нормали ON к проектируемой плоскости Q с плоскостью проекции Р. Следовательно, гномоническая проекция плоскости Q есть точка – полюс N.

Гномонической проекцией зоны является ряд точек, расположенных на одной прямой (АВ на рис. 3.5).

В полярном комплексе прямая (направление ON на рис. 2.5) отображается перпендикулярной ей плоскостью Q, поэтому гномонической проекцией направления (ON на рис. 3.5) является линия пересечения плоскости Q полярного комплекса с плоскостью проекции P, т.е. в гномонической проекции направление ON отображается линией АВ.

Гномоническая проекция употребляется при расчете лауэграмм, так как с её помощью можно построить проекцию всех плоскостей кристалла.

В P

А N

52

0 Q

Нормаль, которая отображает плоскость Q

Рис. 3.5. Гномоническая проекция плоскости Q и направления ON

Недостаток гномонической проекции в том, что у линейной проекции для проектирования всего кристалла требуется бесконечная плоскость.

Сферическая и гномосферическая проекции. Вокруг центра кристаллографического комплекса произвольным радиусом описывается сфера, которая называется сферой проекции. Плоскости кристалла пересекают сферу по кругам наибольшего диаметра, т.е. по большим кругам. Если все плоскости проектировать подобным образом на сферу, то большие круги пересекутся под тем же углам, что и плоскости кристалла (рис. 3.6).

Если в центр сферы проекций поместить полярный комплекс, то получится гномосферическая проекция, в которой кристаллографическая плоскость отображается полюсом Р – точкой пересечения перпендикуляра к плоскости с поверхностью сферы (рис. 3.6). Совокупность полюсов на сфере называется полюсной фигурой.

Р

М

Рис. 3.6. Сферическая проекция плоскости и направления