31.	∑arctgn2
	∞
	n=1		1+ n
	∞					2
34.	∑			2n
			2
	n=1		(n!)
37 . ∑ 4n −3
	∞
40.	n=1					n 3n
	∑					1
	∞
	n=1 4				n(n +1)
	∞					(n +1)2
43.	∑
			n		4	+ 2n			2	+1
	n=1

32. ∑∞ n3

n=1 en

35. ∑n∞ 31n n n+1 n2

=1

∞2n+1

38.∑n=1 (3n)n

	∞				3		+1
41.	∑				n
					2	+1
	n=1		n
	∞		3	n		3	−1
44.	∑										.
			3	n
	n=1				(n +1)

	∞			1+ n 2
33.	∑
									2
	n=1	1+ n
36.	∞								1
	∑arcsin
	n=1									n
	∞					n
39.	∑e
					n
	n=1
	∞			1
42.	∑
		2		n
	n=1					+ n

§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд ви-

да

u − u	+ u −K + (−1)n−1 u	n	+K ,	(3.1)
1 2	3

где u1, u2 , u3 ,K ,un K – положительные числа.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости:

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (4.1) убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при n → ∞ равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не

превосходит первого члена S < u1 .

Т.е. для того, чтобы исследовать знакочередующийся ряд на сходимость, достаточно проверить выполнение двух условий:

1)	u1 > u2	> u3 >K > un > un+1 >K	(3.2)
2)	limun	= 0	(3.3)
	n→∞

Замечание. Неравенства (3.2) могут выполняться, начиная с некоторого N .

21

Примеры

Исследовать на сходимость следующие ряды:

1) 1 − 12 + 13 − 14 +K + (−1)n−1 n1 +K

Решение. Т.к. члены данного ряда по абсолютной величине

	монотонно убывают: 1 > 1 >		1 >	1 >K	, и вообще, 1 >		1		, а
							n +1
		2	3	4		n
	общий член ряда при n → ∞ стремится к нулю, то в силу пр								и-
	знака Лейбница ряд сходится.
	2) ∑(−1)n ln n .
	∞
	n=1	n			ln n	> ln(n +1) . Доказать
	Решение. Проверим условие (3.2):
					n	n +1

это неравенство достаточно сложно. Поэтому применим следующий прием: докажем, что функция y = lnxx монотонно убыва-

ет на некотором интервале вида x > x0 с помощью вычисления

производной и исследования функции (это уже было сделано в §2, раздел IV, пример 2). В нашем случае y′ < 0 при x > e , и

функция монотонно убывает в данном промежутке. Следовательно, неравенства (3.2) выполняются для любых n , начиная с трех.

Проверим условие (3.3). Для этого необходимо вычислить

lim ln n .	Используя	правило	Лопиталя,	получим
n→∞ n

lim ln x = lim 1x = lim 1 = 0 . Следовательно, и lim ln n = 0 .

x→∞ x x→∞ 1 x→∞ x n→∞ n

Т.о., оба условия теоремы Лейбница выполняются, и, следовательно, данный ряд сходится.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Очевидно, знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных.

22

Предполагаем теперь, что в записи
u1 + u2 + u3 +K + un +K	(3.4)

имеются как положительные, так и отрицательные un .

Теорема. (Модульный признак сходимости знакопеременных рядов).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного знакопеременного ряда (3.4):

u1

+

u2

+

u3

+K +

un

+K

(3.5)

сходится, то сходится и данный ряд.

Отметим, что если ряд (3.5) расходится, то отсюда не следует, что ряд (3.4) будет также расходящимся. Например, ряд

1 −	1	+	1	−	1	+K + (−1)n−1 1	+K сходится по признаку Лейбница,
	2		3		4	n

а ряд из абсолютных величин его членов (гармонический ряд)

1 +	1	+	1	+	1	+K +	1	+K расходится.
	2		3		4		n

В связи с этим можно ввести понятие абсолютной и условной сходимости:

Определение. Знакопеременный ряд u1 + u2 + u3 +K + un +K

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

u1 + u2 + u3 +K + un +K .

Определение. Знакопеременный ряд u1 + u2 + u3 +K + un +K называется условно сходящимся, если ряд, составленный из аб-

солютных величин

u1

+

u2

+

u3

+K +

un

+K , расходится, а

сам ряд сходится.

∞

(−1)

n−1

Например, ряд

∑

является условно сходящимся (см.

n

n=1

∞

n−1

пример 1). А ряд

∑

(−1)

является абсолютно сходящимся,

2

n=1

n

23

т.к. ряд, составленный из абсолютных величин ∑∞ 12 , сходится

n=1 n

(обобщенный гармонический при p = 2 ).

Грубо говоря, различие между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые частично уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно различаются: абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы: их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, напри-

мер, условно сходящийся ряд 1 −	1	+	1	−	1	+K + (−1)n−1 1	+K .
	2		3		4	n

Переставим члены ряда местами и сгруппируем их следующим образом:

		1		1		1			1		1		1			1			1
	1 −		−			+		−		−			+		−			−				+K
		2		4			3		6		8			5		10			12

Перепишем ряд в виде (произведя первое действие в каждой скобке):

	1			1		1			1		1				1				1		1		1		1		1		1
			−			+		−			+			−				+K =		1 −		+		−		+		−		+K
		2		4			6		8			10			12				2		2		3		4		5		6

Видим, что от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Можно показать (теорема Римана), что от перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Примеры

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

1) ∑∞ cos(3nπ2)

n=1 n +1

24

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов

∞

cos(nπ 2)

∞

cos(nπ

2)

данного ряда: ∑

=

∑

сходится

по

при-

3

3

n=1

n

+1

n=1

n +1

cos(nπ 2)

1

1

∞

1

знаку сравнения,

т.к.

≤

<

, а ряд

∑

–

n

3

+1

n

3

3

3

+1

n

n=1

n

сходится (обобщенный гармонический ряд при p = 3 ). Следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся.

2) ∑∞ (−1)n−1 n=1 2n −1

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов дан-

∞	(−1)		n−1		∞		1
ного ряда: ∑					= ∑					. Исследуем этот ряд на схо-
		2n −1					2n	−1
n=1					n=1

димость с помощью предельного признака сравнения, сравнив

∞

1

его с эталонным рядом

∑

(p подберем в процессе сравне-

p

n=1

n

ния), имеем

1

1

n p

≠ 0 и

∞ лишь при

lim

:

= lim

n

p

n→∞

2n −

1

n→∞

2n −1

равенстве степеней числителя и знаменателя, т.е. при p = 12 ,

следовательно, сравниваемые ряды являются расходящимися. Таким образом, ряд, составленный из модулей, расходится, и абсолютной сходимости нет.

Исследуем данный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница. Очевидно, что:

1)

1

>

1

=

1

,

2) lim

1

= 0 .

2n

−1

2(n +1) −1

2n

+1

n→∞

2n

−1

Оба пункта признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд условно сходится.

Задачи

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:

25