∞

(−1)

n

n

∞

(−1)

n

∞

(−3)

n

45. ∑

46. ∑

47.

∑

3

(2n −1)2

2n−1

(4n +1)

n

n=1

n + 4

n=1

n=1

∞

(−1)n+1

∞

(−1)n sin(nπ 3)

∞

(2n −1)(−1)n+1

48. ∑

49. ∑

50. ∑

ln(n +1)

5

n

2

n3 +1

n=1

n=1

n=1

∞

(−1)

n

10

n

∞

(−1)

n

n

2

∞

(−1)

n

ln n

51. ∑

52. ∑

53.

∑

n

+ 2

2

n

n=1

n

n=1

3n − 4n +1

n=1

∞

(−1)

n

∞

(−1)

n

∞

n

n

n

54. ∑

55. ∑

56.

∑(−1)

n −ln n

2

n

n=1

n=1

n ln

n=1

n!

∞

(−1)n+1

∞

(−1)n 2n2

∞

2

n

n

+1

n2

57. ∑

58. ∑

n!

59.

∑

−

2n −1

3

n

n=1

n=1

n=1

§4. Степенные ряды

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции с целыми неотрицательными показателями степени:

	∞
a0 + a1 x + a2 x2	+K + an xn +K = ∑an xn	(4.1)

n=0

Определение. Ряд вида (4.1) называется степенным, а чи сла a0 , a1, a2 , K an K называются коэффициентами степенного ряда.

Рассматривают и степенные ряды более общего вида: a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +K + an (x − x0 )n +K =

∞	(4.2)
= ∑an (x − x0 )n
n=0

(по степеням x − x0 ). Такой ряд не отличается существенно от

ряда вида (4.1), ибо приводится к нему простой заменой пере-

менной: x − x0 = z .

Определение. Множество значений x , при которых степенной ряд (4.1) или (4.2) сходится, называется областью сходимо-

26

сти степенного ряда.

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью следующей теоремы:

Теорема Абеля

1) Если степенной ряд вида (4.1), т.е. по степеням x , сходится при значении x = x0 ≠ 0 (отличном от нуля), то он сходится, и

притом абсолютно, при всех значениях x таких, что x < x0 .

2) Если степенной ряд вида (4.1) расходится при значении x = x1 , то он расходится при всех значениях x таких, что

x > x1 .

Из теоремы Абеля вытекает следующая теорема.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда вида (4.2), т.е. ряда по степеням x − x0 , является интервал с центром в точ-

ке x0 и с концами в точках x0 − R и x0 + R .

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (x0 − R, x0 + R) – интервала сходимости степенного ряда. На

концах интервала сходимости, т.е. при x = x0 − R и x = x0 + R

вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку x0 (при R = 0 ), у других охватывает всю числовую ось (при

R = ∞).

Для начала укажем способ определения интервала сходимости степенного ряда на примере ряда (4.1).

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда:

∞

∞

a0

+

a1 x

+

a2 x2

+K +

an xn

+K = ∑

an xn

= ∑

an

x

n

(4.3)

n=0

n=0

Т.к. при каждом конкретном x ряд (4.3) является числовым знакоположительным рядом, то для выяснения вопроса о его сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера:

Допустим, что существует

27

lim

u

n+1

= lim

an+1

x

n+1

=

x

lim

an+1

=

x

L .

un

an

x

n

an

n→∞

n→∞

n→∞

Тогда, по признаку Даламбера ряд сходится, если L x <1 (т.е.

при

x

<

1

), и расходится, если

L

x

>1 (т.е. при

x

>

1

).

L

L

x

1

Следовательно, ряд (4.1) сходится абсолютно при

<

и

L

расходится при x > L1 , и интервалом сходимости является ин-

тервал − L1 < x < L1 , а радиусом сходимости является число

R =

1

= lim

an

.

L

an+1

n→∞

При

L

x

=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о

сходимости, поэтому необходимо, подставляя значения x = ± L1

в ряд (4.1), исследовать получающиеся числовые ряды в каждом конкретном случае.

Замечание. Интервал сходимости можно найти, используя радикальный признак Коши (также применяя его к ряду (4.3)):

1

an

x

n =

x

<1

x

<

.

lim n

lim n

an

lim n

an

n→∞

n→∞

n→∞

Примеры

Найти области сходимости степенных рядов:

1) ∑n∞ n2xn5n

=1

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

28

∑

2x

n

n

= ∑

2x

n

n .

∞

∞

n=1

n 5

n=1 n 5

Применим к нему признак Даламбера.

2

lim un+1

x

n+1

2

n

x

x

= lim

n 5

=

lim

n

=

<1

n→∞

un

n→∞

2

5

n+1

x

n

5

n→∞

(n

+1)

2

5

(n +1)

Отсюда получаем интервал сходимости:

x

< 5.

Исследуем сходимость на концах интервала:

1

∞

При

x = 5

исходный ряд принимает вид: ∑

– это обоб-

2

n=1

n

щенный гармонический ряд при p = 2 >1, а значит, он сходится.

∞	(−1)	n
При x = −5 получаем абсолютно сходящийся ряд ∑
	2
n=1	n

ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Следовательно, интервал сходимости ряда имеет

x[−5;5] .

2)∑∞ (−1)n!n xn .n=1

Решение. Ряд, составленный из модулей, имеет вид:

∞

(−1)

n

x

n

∞

x

n

∑

= ∑

.

n!

n!

n=1

n=1

, т.к.

вид:

un+1

x

n+1

n!

1

lim

= lim

=

x

lim

= 0 <1

ряд схо-

n→∞

un

n→∞

(n +1)!

x

n

n→∞

n +1

дится при любых x . Таким образом, интервалом сходимости является интервал (−∞; +∞) .

∞

3) ∑nn xn

n=1

Решение. Ряд, составленный из абсолютных величин членов

29

∞

данного ряда ∑nn x n , исследуем с помощью радикального

n=1

∞,

x ≠ 0

= lim n nn

n

признака Коши: lim n un

x

=

x

lim n =

x = 0

n→∞

n→∞

n→∞

0,

Следовательно, область сходимости ряда состоит из одной точки x = 0.

∞

n

(x − 4)

n

4) ∑

(−1)

n

n=1

Решение

n+1

un+1

x − 4

lim

= lim

n

x − 4

lim

n

x − 4

<1.

=

=

n→∞

un

n→∞

n +1

x − 4

n

n→∞

n +1

Отсюда получаем интервал сходимости: 3 < x < 5 .

	∞	(−1)	n	(−1)		n ∞		1
При x = 3 исходный ряд имеет вид: ∑							= ∑				–
				n					n
	n=1						n=1
это расходящийся ряд	(обобщенный	гармонический							при
p =1 2 <1). Подставляя	x = 5 , получаем условно сходящийся

ряд ∑∞ (−1)n . Окончательно, интервал сходимости ряда имеет

n=1 n

вид: (3;5] .

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда S(x) является непрерывной функ-

цией во всем интервале сходимости ряда.

2. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку [a, b], лежащему в интервале сходимости

b	∞	∞ b
∫∑an xn dx = ∑∫an xn dx .
a	n=0	n=0 a

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать сколь угодно раз. При этом будут получаться степенные ряды с тем же радиусом сходимости:

30