2) Разложить в ряд Тейлора по степеням x +3 функцию

f (x) = x 1+1

Решение. Преобразуем данную функцию так, чтобы можно

было воспользоваться разложением (5.7):

1

=

1

= − 1

1

=

x +1

(x + 3) − 2

x

+ 3

2

1 −

2

= − 1

x + 3

(x +23)

2

(x +n3)

n

1 +

+

+K

+

+K

2

2

2

2

Полученное разложение справедливо, когда −1 <	x +3	<1.
2

Отсюда получаем − 2 < x +3 < 2 или −5 < x < −1.

§6. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «не берущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Примеры

I. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:

а) 1 5 e2
Решение. Для вычисления								1		= e−2 5 запишем ряд (5.3) при
				5					e2
x = −2 5 , принадлежащем области сходимости (−∞; ∞) :
e−2 5 =1− 2 +			22	−	23	+K +		(−1)n n 2n +K =
			2		3
5			5 2!	5 3!					5 n!

=1−0,4 +0,08 −0,01067 +0,001067 −0,0000853 +K

Взяв первые пять членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ря-

38

да, мы допустим погрешность		rn		, не превышающую первого
отброшенного члена (по	абсолютной величине), т.е.

rn ≤ 0,0000853 < 0,0001.

Итак, e−25 =1−0,4 +0,08 −0,01067 +0,001067 ≈ 0,6704

б) ln 0,9

Решение. Воспользуемся разложением (5.11), подставив в него x = −0,1, входящее в область сходимости (−1; 1] :

ln 0,9 = −0,1 −	0,12	−	0,13	−K −	0,1n	+K =
	2		3		n
= −(0,1 + 0,005 + 0, 00033 + 0, 000025 +K )

Так как данный числовой ряд не является знакопеременным, то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасываемого члена.

Если в качестве ln 0,9

взять сумму первых трех членов, мы

допустим погрешность

r

= 0,14

+ 0,15

+K + 0,1n

+K < 0,14

+ 0,15

+K + 0,1n

+K =

n

4

5

n

4

4

4

0,14

2

n−4

0,14

1

=

4 (1 + 0,1 + 0,1 +K +

0,1

+K )

=

4

= 0,000028 < 0,0001

1 −0,1

(здесь мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в

скобках равна

a

=

1

)

1− q

1−0,1

Итак, ln 0,9 = −(0,1+ 0,005 + 0,00033) = −0,10533 ≈ −0,1053

в) sin 200

Для вычисления sin 200 = sin π

Решение.

запишем ряд (5.4)

π

9

при x =

, принадлежащем области сходимости (−∞; ∞) :

9

π 3

5

2n−1

sin

π

π

1

1

π

(−1)n−1 π

=

−

+

−K +

+K =

9

9

5!

3!

9

9

(2n −1)! 9

39

= 0,34907 −0,00709 +0,00004 −K

(необходимо взять два члена, так как при этом погрешность rn ≤ 0,00004 < 0,0001). Итак,

sin 200 = 0,34907 −0,00709 ≈ 0,3420 .

II. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие интегралы:

a) ∫1 sin x dx

0 x

Решение. Так как интеграл «не берущийся», «точное» интегрирование здесь невозможно.

Воспользуемся разложением (5.4). Разделив обе части на x , получим

	sin x	=1 −	x2	+	x4	+K +	(−1)n−1 x2n−2	+K , причем ряд сходит-
	x		3!		5!		(2n −1)!

ся при всех значениях x . Интегрируя почленно, получим:

1

1

1

x

2

1

x

4

1

(−1)

n−1

x

2n−1

∫sin xdx =

∫dx − ∫

dx +

∫

dx −K

+ ∫

dx +K

0

x

0

0

3!

0

5!

0

(2n −1)! (2n −1)

= x

1

x3

1

x5

1

(−1)n−1 x2n−1

1

−

+

−K +

+K =

0

3! 3

5! 5

(2n −1)! (2n −

1)

0

0

0

=1−

1

1

(−1)n−11

+

+K

+

+K =

3! 3

5! 5

(2n −1)! (2n −1)

=1−0,05556 +0,00167 −0,000028 +K ≈ 0,94611 ≈ 0,946

Возьмем первые три члена разложения, rn ≤ 0,000028 < 0,001.

Итак, ∫1 sin xdx =1−0,05556 + 0,00167 ≈ 0,946

0 x

=

т.к.

б) ∫1
	xe−x dx
0

Решение. Заменив x на − x в разложении (5.3), получим:

40

e−x =1− x +													x2					−	x3	+ +				(−1)n xn										+ .
																										n!
														2!				3!
Умножая полученный ряд на																															x	:
																																				1
				−x						1			−x					1				3					(−1)n xn+2
	xe							= x2 e								= x2 − x2 +K +																					+K ,
																																n!
и почленно интегрируя в интервале																																		(0,1) , принадлежащем ин-
тервалу сходимости ряда (−∞; ∞) , имеем:
1											1				1			1				3					1								n	x	n+1
∫		xe−xdx = ∫x2 dx − ∫x2 dx +K + ∫(−1)																																			2 dx +K =
0											0							0									0							n!
	2				3			1		2				5		1						1			xn+	3				1
																										2
=			x		2			−			x2					+K +															+K =
	3									5												3			n!
								0								0						n + 2								0
	2					2							(−1)n 2
=			−						+K													+K = 0,66667 −0,40000 +0,14286 −
	3					5						(2n						+3)n!

−0,03704 +0,00758 −0,00128 +0,00018 −K ≈≈ 0,37879 ≈ 0,379

При этом rn ≤ 0,00018 < 0,001. Итак, ∫1 xe−x dx ≈ 0,379 .

0

Задачи

Разложить в ряд Маклорена следующие функции, указав промежутки сходимости полученных рядов.

	f (x) = e		6x									x
86.					87.	f (x) = sin 3x		88.	f (x) = ln 1		−
												3
89.	f (x) =			1	90.	f (x) =	1	91.	f (x) =	1−e−x2
		(1		+ x)2			1− x3			x2
92.	f (x) = x ln(1+ x2 )

Разложить в ряд Тейлора следующие функции и найти об-

41