10.Что такое общее уравнение плоскости в пространстве? Что можно узнать о плоскости по ее уравнению?
Уравнение плоскости:
Ax+By+Cz+D= 0
Общее уравнение плоскости :
Ax+By+Cz+D=0
Из уравнения плоскости можно узнать из каких координатах Ox,Oy,Oz, плоскость пересекает оси Ox,Oy,Oz.
↑ назад в содержание ↑
11.Угол между плоскостями. Условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до плоскости.
Угол между плоскостями равен углу между их нормалями :
В частности 2 плоскости перпендикулярны :
Две плоскости будут параллельны ( или совпадают) когда их нормали коллинеарны
Расстояние от точки до плоскости :
↑ назад в содержание ↑
12.Как задается прямая в пространстве? Что такое ее канонические уравнения?
Всякая прямая в пространстве есть линия пересечения двух плоскостей. Прямая в пространстве задается следующей системой уравнений:
!замечание
КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения- это уравнения вида:
-
координаты точки лежащие на этой прямой
↑ назад в содержание ↑
13.Угол между прямыми, их параллельность и перпендикулярность.
Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими векторами.
=
=
;
=
=
;
Это уравнения двух прямых.
_ _
=
(
);
= (
)
=
Условие параллельности прямых
Введем
точку
и точку
,
где
на второй.
Прямые
параллельные если
не коллинеарен направляющим векторам.
Чтобы 2 прямые были перпендикулярными (в пространстве) необходимо, чтобы направляющие этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
↑ назад в содержание ↑
14. Что такое кривые второго порядка?
Что такое кривые 2-ого порядка?
Кривые 2-ого порядка – это кривые, задаваемые в декартовой системе координат на плоскости уравнениями 2-ой степени т.е. уравнениями вида:
, где хоть один из
a,b,c
Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):
1) Уравнение эллипса
с
полуосями длины 
и 
.
В частности, при 
уравнение
окружности
с
центром в начале координат и радиусом 
.
2) Уравнение гиперболы
с
полуосями 
и 
.
3) Уравнение параболы
4) Уравнение пары пересекающихся прямых:
.
5) Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
.
6) Уравнение, определяющее точку,
.
↑ назад в содержание ↑
15.Напишите канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Как они выглядят?
Канонические уравнения эллипса:
(При этом фигуру на плоскости называют ограниченной, если она вся помещается в прямоугольник.)
Гиперболы:
Гиперболой называют множество всех точек на плоскости, для каждой из которых разность расстояний до 2-х фиксированных точек, называемых фокусами этой гиперболы, есть величина постоянная и притом меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническая гипербола симметрична относительно
потому
и относительна
начала координат .
Гипербола пересекает в точках (-a; 0),(a;0)
Гипербола - не ограниченная фигура.
Параболы:
Параболой называют
множество всех точек, для каждой из
которых называемой фокусами параболой
равно расстоянию до фиксированной G
называемой директрисой.
M
F
, где p
Окружность:
Окружность - множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости.
Выведем каноническое уравнение:
Пусть C(a, b) – центр окружности, а R – ее радиус. Возьмем произвольную точку M(x, y) ∈ окр.
Расстояние от
центра окружности до точки M находится
по известной формуле
Каноническое уравнение окружности. В центре с координатами a и b и радиусом R
Если в этом уравнении
раскрыть скобки и выполнить некоторые
преобразования, то получим:
↑ назад в содержание ↑