22.Что такое предел функции? Приведите примеры.

Определение:

Говорят, что предел функции , если :

1. определена по крайней мере на некоторой правой полупрямой

2. 

Иными словами, B равняется пределу , в точности тогда, когда график этой функции при достаточно больших значениях аргументаx попадает в полосу b-E<y<b+E.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞), если Функцияx = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

• Сумма конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая функция.

• Произведение бесконечно малой при x → a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x → a функция.

Если в некоторой окрестности a определены функции f (x), g (x), h (x) такие, что f (x) = g (x) h (x), , то функцииf (x) и g (x) называются эквивалентными при x → a: 

f (x) ~ g (x).

Так, функции иэквивалентны приx → 0, так как а второй множитель стремится к 1 приx → 0. Другие примеры эквивалентных функций при x → 0:

sin x ~ x

tg x ~ x

arcsin x ~ x

arctg x ~ x

e^x – 1 ~ x

ln (1 + x) ~ x

(1 + x)^α – 1 ~ α x.

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.

↑ назад в содержание ↑

23.Что такое 1-й замечательный предел?

Что такое 1-й замечательный предел?

Доказательство:

Sтр.ОАС<ScектOAC<Sтр.OAB

*1*sinx<*x*1<*1*tgx

Sinx>0

Делим на

1<<(cosx→1, когдаx→0)

x→0:

→1

↑ назад в содержание ↑

24.Что такое 2-й замечательный предел?

Число е является иррациональным е=2.718281828.

Число b называется пределом функции при,

lim f(n)=b

x→0

cуществует lim f(x)

x→0

f(x)=sinПx

Из этого соответствия вытекают еще 2 важных равенства:

① lim (e-1)/x=1

x→0

(e в степени х)

② lim (ln(1+x))/x =1 или lim (ln(1+x))=0

x→0 x→0

Небольшой пример:

lim (e-1)/x=4 lim (e-1)/4x=4

x→0 x→0

(е в степени 4х)

-5 lim (ln(1-5x))/(-5x)=-5

x→0

↑ назад в содержание ↑

25.Расскажите о методах вычисления пределов основных типов. Приведите примеры.

↑ назад в содержание ↑

26.Дайте определение непрерывной функции. Приведите примеры.

Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если .

Более подробно это расшифровывается следующим образом:

1. .

2. . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

3. Обозначим  (приращение аргумента) и  (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при   также и  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

         Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Примеры: