(29)78.Что такое элементарные преобразования?

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность(равносильность) матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу , ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки.

↑ назад в содержание ↑

(30)79.Что такое ступенчатая система? Примеры.

Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов, т. е.:

1. все нулевые строки находятся в матрице ниже ненулевых строк;

2. если (0,...,0,a_ik,...,a_in), - первый ненулевой элемент вi -й строке (называемый лидером i -й строки), то a_rs=0 для всех ,(элементыa_rs=0 для всех мест (r,s), расположенных в строчках, ниже i -й, и в столбцах s=1,2,...,k ). Другими словами, лидер строки с большим номером стоит строго правее.

Ненулевая матрица имеет главный ступенчатый вид, если матрицаA имеет ступенчатый вид, все лидеры ненулевых строк () равны1 и для каждого j, , вl_j -м столбце матрицы A единственный ненулевой элемент - это .

Примеры:

Матрица имеет ступенчатый вид (выделены лидеры строк), но не главный ступенчатый вид.

Матрица имеет главный ступенчатый вид. Нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Матрица не является ступенчатой (нулевая строка находится выше ненулевых строк).

Матрицы не являются ступенчатыми (лидер третьей строки находится не строго правее, чем лидер второй строки).

↑ назад в содержание ↑

(31)80.Как произвольная линейная система приводится к ступенчатому виду? Рассмотрите пример.

Как произвольная линейная система приводится к ступенчатому виду? Рассмотрите пример.

из второго и третьего мы вычитаем первое с коэф. 1.

Пусть нам дана произвольная система в первое уравнение которой входит . Вычитая из последующих первое уравнение с подходящим коэффициентом, уничтожимво всех уравнениях системы, кроме первого. Уравнения преобразованной системы, начиная со второго образуют подсистему возникшей системы число неизвестных, в которой и число неизвестных и число уравнений меньше, чем в исходной системе. Дальше по той же схеме преобразуются уравнения этой уменьшенной подсистемы. После некоторого количества таких этапов приходим к ступенчатой системе. Преобразования второго типа используются например тогда, когда в первое уравнение не входит первое неизвестное.

из третьего мы вычитаем второе с коэффициентом 1.

↑ назад в содержание ↑

(32)81.Как по Гауссу решается ступенчатая линейная система? Пример.

Покажем, как решать ступенчатые системы

Вначале рассмотрим 2 примера: (двойные скобки нигде ставить не нужно)

X1 = 10 – 1 – 3 – 4 = 2	Решаем эту систему снизу вверх
X2 = 2 + 3 – 4 = 1
X3 = 11 – 8 = 3
X4 = 4

1)

2)

x₁ = - t₄ – (- t₂ - 2 - t₁) - t₃ - t₂ – (2 - t₁) - t₁ ;

x₂ = t₄ ;

x₃ = - t₂ - 2 - t₁ ;

x₄ = t₃ ; решаем эту систему снизу вверх

x₅ = t₂ ;

x₆ = 2 - t₁ ;

x₇ = t₁ ;

Как и в рассмотренных примерах, ступенчатые системы решаются «снизу вверх», при этом неизвестные, которыми «открываются» уравнения, называются главными, а все остальные, свободными. Переход к очередному уравнению системы происходит подставлением всех значений известных до этого, присвоении неопределённым до этого свободным от этого независимых параметрических значений и вычисление значения главного переменного этого уравнения.

Процедура Гаусса решения ступенчатых систем показывает, что общее решение ступенчатой системы с r уравнениями и n переменных зависит от n – r, это число свободных неизвестных параметров

↑ назад в содержание ↑