- •1.Дайте определение вектора и его координат
- •2.Расскажите о линейных операциях над векторами.
- •1) Сложение векторов
- •2. Умножение векторов на число
- •3.Дайте определение скалярного произведения векторов. Расскажите о его свойствах.
- •4.Дайте определение векторного произведения и расскажите о его свойствах.
- •5.Дайте определение смешанного произведения и расскажите о его свойствах.
- •6.Объясните, что такое система координат. Какие вы знаете системы координат?
- •7.Что такое общее уравнение прямой? Что можно узнать о прямой по ее уравнению?
- •8.Как находится расстояние от точки до прямой?
- •9.Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?
- •10.Что такое общее уравнение плоскости в пространстве? Что можно узнать о плоскости по ее уравнению?
- •11.Угол между плоскостями. Условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до плоскости.
- •12.Как задается прямая в пространстве? Что такое ее канонические уравнения?
- •13.Угол между прямыми, их параллельность и перпендикулярность.
- •14. Что такое кривые второго порядка?
- •15.Напишите канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы. Как они выглядят?
- •16.Что такое поверхности 2-го порядка?
- •17.Напишите уравнения сферы и обоих параболоидов. Как они выглядят?
- •18.Что такое числовая последовательность? Приведите примеры.
- •19.Что такое неперово число е? Каково его приближенное значение?
- •20.Что такое предел последовательности? Приведите примеры.
- •21.Что такое график функции? Нарисуйте графики основных элементарных функций.
- •22.Что такое предел функции? Приведите примеры.
- •23.Что такое 1-й замечательный предел?
- •24.Что такое 2-й замечательный предел?
- •25.Расскажите о методах вычисления пределов основных типов. Приведите примеры.
- •26.Дайте определение непрерывной функции. Приведите примеры.
- •Элементарные функции
- •(28)77.Что такое линейная система уравнений? Какие системы называют равносильными? Примеры.
- •(29)78.Что такое элементарные преобразования?
- •(30)79.Что такое ступенчатая система? Примеры.
- •(31)80.Как произвольная линейная система приводится к ступенчатому виду? Рассмотрите пример.
- •(32)81.Как по Гауссу решается ступенчатая линейная система? Пример.
- •(33)82.Как устроено множество решений линейной системы уравнений? Примеры.
- •(34)83.Что такое главные и свободные неизвестные системы? Примеры.
- •(35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры.
- •(36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры.
- •(37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено? Примеры.
- •(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что умножение матриц не коммутативно.
- •(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная матрица?
- •(40)89.Что такое обратимая матрица? Условия обратимости.
- •(41)90.Определение определителя. Пример его вычисления.
- •(42)91.Как меняется определитель под действием элементарных преобразований?
- •(43)92.Что такое треугольный определитель? Как он вычисляется?
16.Что такое поверхности 2-го порядка?
Поверхность 2-ого порядка это поверхности 2-ой степени в декартово системе координат:
Причем один из A,B,C,D,E,F0.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.
Рисунок 5.7.1 |
Свойства эллипсоида.
Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
Эллипсоид обладает
центральной симметрией относительно начала координат,
осевой симметрией относительно координатных осей,
плоскостной симметрией относительно начала координат.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.
Свойства эллиптического параболоида.
Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
Эллиптический параболоид обладает
осевой симметрией относительно оси Oz,
плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.
В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Определение 5.14.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.
Рисунок 5.7.3 |
Свойства гиперболического параболоида.
Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
Гиперболический параболоид обладает
осевой симметрией относительно оси Oz,
плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.
В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осямOx иOy, – парабола.
Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.
Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.
Рисунок 5.7.5 |
Свойства двуполостного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху.
Двуполостный гиперболоид обладает
центральной симметрией относительно начала координат,
осевой симметрией относительно всех координатных осей,
плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.
В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при получается эллипс, при– точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осямOx и Oy, – гипербола.
По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x2 = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x2 = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x2 – y2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнениеx2 + y2 + z2 = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x2 + y2 = 1 – круговой цилиндр, уравнение x2 + y2 = z2 – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.
↑ назад в содержание ↑