Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел, поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

↑ назад в содержание ↑

27.Что такое односторонние пределы и точки разрыва? Приведите примеры.

Случается так, что функция при приближении к некоторой точке a с различных сторон (слева, справа) Неограниченно приближается к различным значениям b₁ и b₂. Для формулировки этой и подобных ситуаций и вводится понятие односторонних пределов.

Говорят что функция f(x), имеет в точке a предел слева b₁, если

Говорят что функция f(x), имеет в точке a предел справа b₂, если

Примеры:

1. 

a) (предел справа, +0)

б) (предел слева,-0)

2)

а)

б)

3)

a)

б)

Определение: a– точка разрыва для функции f(x), если:

1. F(x) определена хотя бы на (a – ,a+) за вычетом возможных самой точки a

2. НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ

1)

2)

Разумно ввести классификацию точек разрыва, по возрастанию сложности.

1. «а» - устранима, если

Примеры:

1. f(a) не определена

2. a=0

2. Говорят что a – точка разрыва типа скачка, если конечные

Иногда устранимые точки вместе со скачками называют точками разрыва 1-го рода.

Все остальные точки разрыва называют разрывами 2-го рода.

↑ назад в содержание ↑

(28)77.Что такое линейная система уравнений? Какие системы называют равносильными? Примеры.

В линейной алгебре изучают системы линейных уравнений , методы их решения и связанные с этим вопросы.

Линейными называют уравнения вида:

a₁x₁+ a₂x₂ + … + a_nx_n = b

Числаa₁, … , a_nназывают коэффициентом такого уравнения, а b– его свободным членом. Мы будем рассматривать системы из нескольких линейных уравнений, при чем число неизвестных в такой системе может не совпадать с числом уравнений.

Существуют различные методы решения линейных систем. Наиболее универсальным среди них является т. н. метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Этот метод основан на преобразовании данной системы к удобному виду. Изложим связанные с этим понятия: Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если у системы нет решений, она называется несовместной.

Две системы уравнений, обладающие одним и тем же множеством решений, называются равносильными (эквивалентными). Примеры:

↑ назад в содержание ↑