31. Теплопроводность через однослойные стенки (плоские, цилиндрические).

Определим тепловой поток теплопроводностью через изотропную плоскую стенку, предполагая, что температура меняется только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки т.е

Первое и второе интегрирование данного уравнение:

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий первого рода

Подставляя постоянные интегрирования в общее решение получим закон распределения температуры в рассматриваемом сечении стенки

Распределение температуры в стенке при граничных условиях первого рода является линейной функцией.

Расчетное выражение удельного теплового потока получается из уравнения Фурье

С учетом того, что тепловой поток имеем

Отношение называется тепловой проводимостью стенки. Обратная величина представляет собой термическое сопротивление стенки.

32 Теплопроводность через многослойные стенки (плоские, цилиндрические)

В общем случае для стенки, состоящей из n – слоев имеем

Температура на стыке двух слоев:

Рассмотрим теплопроводность цилиндрической однослойной стенки с внутренним диаметром d1=2r1 и наружным диаметром d2=2r2 в условиях стационарного температурного поля. Внутренние источники теплоты отсутствуют.

Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки

Врассматриваемом случае

Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью цилиндра

Предположим, что в рассматриваемом случае температура изменяется только в радиальном направлении

Граничные условия:

введем новую переменную тогда

интегрируя

потенцируя и переходя к первоначальным переменным, получаем

После интегрирования имеем

Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий

Подставляя полученные значенияС1 и С2 в общее уравнение

получим

температурного поля представляет собой уравнение логарифмической кривой.

Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье

Подставляя в уравнение Фурье значение градиента температуры

получим

Тепловой поток может быть отнесен либо к единице длины, либо к единице внутренней или внешней поверхности.

внутренней поверхности

наружной поверхности

Тепловой поток отнесенный к единице длины, имеет размерностьВm/м и называется линейной плотностью теплового потока.

Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выражение для определения линейной плотности теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки

называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.

Температура на границе любых двух слоев: