ВЫШМАТ

•При которой уравнение Бернулли сводится к линейному

y p(x) y1n q(x), yn

(1 n)z p(x)z q(x)

• Второй способ решения состоит в замене y=u v- "подстановка Бернулли".

31

Пример

• Решить уравнение

y 2 y y2ex

32

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Если левая часть уравнения в дифференциалах

M (x, y)dx N (x, y)dy 0

является дифференциалом некоторой функции A(x, y) т.е.

d A(x, y) M (x, y)dx N (x, y)dy,

то дифференциальное уравнение называется

уравнение в полных дифференциалах.

33

Односвязная область

• Область D	называется односвязной, если
множество точек, ограниченных непрерывной
замкнутой кривой		L , лежащей в D , также
принадлежит D		. Т.е. в односвязной области нет

"дырок".

D L

34

Критерий уравнения в полных дифференциалах

•	Теорема. Пусть функции		M (x, y), N (x, y)
	непрерывны вместе со своими частными
	производными M	N
	y	, x
•	в односвязной области		D . Тогда, уравнение в

дифференциалах M (x, y)dx N (x, y)dy 0

• является уравнением в полных дифференциалах,

если в области D выполняется равенство

M N .y x

35

Пример

• Найти общий интеграл уравнения

(x2 xy2 )dx (x2 y y2 )dy 0

36

Замечание

• В уравнение в дифференциалах

M (x, y)dx N (x, y)dy 0

•	переменные x, y	входят равноправно. Таким
	образом, в качестве решения можно рассматривать
	функции x x( y)	наряду с функциями . y y(x)
•	Пример 1	ydx xdy 0

37

«Перевёрнутое уравнение»

• Поэтому к интегральным кривым уравнения y f (x, y)

• будем относить и решения перевёрнутого уравнения

1				1
	x f (x, y) x			f (x, y)
• Пример 2. (2x y2 ) y y

38

Blow up – Взрыв решения

• Замечание. Непрерывность правой части уравнения y f (x, y)

при любых x может не обеспечивать существование решения задачи Коши в произвольной окрестности заданной точки x0 .

• Пример

y y2

y(0) 1

39

Решение

• Имеем , разделяя переменные|

	dy	dx 1 x C y					1	.
	y2
		y					x C
•	Поставляя начальные условия					x 0, y 1 ,
	получаем	C 1, y	1		.
			x1
•	Таким образом, решение				y при x 1, хотя
	правая часть уравнения			f (x, y) y2 непрерывна
	вместе со своей производной					f (x, y) 2y во всех

точках координатной плоскости.