ВЫШМАТ

p C1

y

y C1 первый интеграл

y

20

y 0 dy C1 dx y

ydy C1dx y3/2 C1x C2

21

y 0	dy		C1
	dx
				y

ydy C1dx

yd( y) C1dx

( y)3/2 C1x C2

22

Пример 3

• Решить уравнение

xyy xy 2 yy

23

Линейные дифференциальные

уравнения порядка n

Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами

24

Предварительные сведения

•Линейным дифференциальным уравнением (л.д.у.)порядка n называется дифференциальное уравнение порядка n, имеющее следующий вид:

(n)	(n 1)		an(x)y f (x), (1)
y	a1(x)y	... an 1(x)y

где функции a1(x),...,an 1(x), an(x), f (x)

определены на некотором интервале (a, b).

25

Предварительные сведения

•Если правая часть уравнения (1) ( f (x) 0, x (a,b)), тождественно равна нулю на рассматриваемом

промежутке (a, b), то уравнение называется линейным однородным д.у., в противном случае -линейным неоднородным д.у.порядка n.

26

Теорема существования и единственности линейного дифференциального уравнения порядка n.

• Если коэффициенты		a (x),...,a (x), a (x)			и правая
		1	n 1	n
часть f (x) линейного диф.уравнения (1) непрерывны
на интервале	(a, b),		то для любой точки x0 (a, b)
и любых чисел	y ,..., y			существует y y(x),
		0	n 1
единственное решение задачи Коши, определённое
также на интервале		(a, b),		удовлетворяющее
начальным условиям
y(x ) y , ..., y(n1) y .
0	0		n 1

•Вывод: Эффект «Blow up» для линейных

дифференциальных уравнений не имеет места !

27

Вопрос

•Как геометрически истолковать теорему

существования и единственности для линейного уравнения 2-го порядка?

29