ВЫШМАТ

Уравнения, не содержащие явно

независимую переменную

• Уравнения F(y, y , y ) 0, не содержащие явно

переменной x.	.
Замена y p(y) , где	y dp y dp p
	dy	dy

понижает порядок уравнения

F(y, p, pdpdy) 0

10

Уравнения с однородной функцией

Однородные уравнения 2 порядка

• Уравнение				0	называется однородным степени m,
	F(x, y, y , y )
если функция		F(x, y, y , y )			является однородной функцией
		1	2
степени m по переменным					y, y1 , y2 , т.е. выполняется
равенство

F(x,ty,ty1,ty2) tmF(x, y, y1, y2)

для любого t>0 .

11

Замена в однородном уравнении

•Замена

y yz,

y y z yz

yz2 yz y(z2 z )

• Приводит к уравнению

F(x, y, yz, y(z2 z )) 0 ymF(x,1,z,(z2 z )) 0 F(x,1,z,(z2 z )) 0

• первого порядка.

12

Примеры

• Пример 1.

y 1 (y )2 y z(x), y z

z 1 z2

13

• Разделим переменные

dxdz 1 z2

dz dx

1 z2

x C1 ln z 1 z2

14

• Далее, избавляясь от логарифма, имеем

z 1 z2 ex C1

1 z2 ex C1 z

1 z2 e2(x C1) 2zex C1 z2

15

• После упрощения получаем

1 e2(x C1) 2zex C1

z 12(ex C1 e (x C1)) sh(x C1)

y sh(x C1) Первый интеграл уравнения y ch(x C1) C2 Общее решение

16

Пример 2

• Найти общее решение уравнения

(y )2 2yy 0

17

• Пример 2. Решение.

( y )2 2yy 0 y p( y), y p p

p2 2yp p 0

p p2

2yp

18

dpdy 2py dpp 2dyy

ln		p		1 ln		y		lnC
				2				1

19