ВЫШМАТ
.pdf
В точке x 1 происходит взрыв «Blow up» решения.
• График частного решения.
y
1 |
x |
41
Дифференциальные уравнения высших порядков
Лекции 2- 3
1
Дифференциальным уравнением порядка n
называется уравнение вида
F(x, y, y ,..., y(n)) 0, (1)
•в котором обязательно наличие n-ой
производной.
Будем рассматривать также уравнения в
нормальной форме, т.е. разрешенные
относительно старшей производной y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1)). (2)
2
Механическое истолкование.
Предположим, что движение материальной точки на прямой описывается функцией x=x(t). Если движение точки происходит
под действием силы |
|
, |
F(t,x(t),x (t)) |
тогда согласно 2-ому закону Ньютона
mx F(t,x,x ).
3
Задача Коши
Задачей Коши для уравнения порядка n называется задача нахождения решения y=y(x), удовлетворяющего заданным начальным условиям вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
(x0) yn 1, |
||||
|
|
y(x0) y0, y (x0) y1,..., y |
|
||||||||||||
• |
где x , |
y , |
y , ..., y |
|
-заданные числа: |
|
|||||||||
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
(n 1) |
), |
|
|
|
|
(3) |
|
y |
|
f (x, y, y ,..., y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
) y , |
|
|
) y |
|
|
(n 1) |
|
) y |
|
|||
y(x |
|
, ..., y |
(x |
|
|||||||||||
y (x |
|
|
n 1 |
||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
4
Теорема существования и единственности.
• Пусть в уравнении (2) функция |
f (x, y,z1,z2,...,zn 1) |
|||||
|
|
|
|
|
||
непрерывна вместе со своими частными |
||||||
производными f |
|
f |
f |
|
|
|
y |
, |
|
,..., |
|
|
|
z |
z |
|
|
|||
|
1 |
n 1 |
||||
• в области D переменных |
|
|
. Тогда для |
|||
любых начальных данных |
x, y,z1,...,zn 1 |
|||||
|
|
x0, y0, y1,..., yn 1 |
||||
из области D задача Коши (3) имеет единственное решение.
5
•Для уравнения второго порядка геометрически
единственность означает, что через каждую точку M0(x0, y0) области G п рXOY D
проходит единственная интегральная кривая, имеющая в точке M0(x0, y0)
заданное направление |
y1 tg . |
|||
y |
|
|
||
|
y |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
x |
|
|
|
||
6
•Решение задачи Коши будем называть частным решением.
•Общим решением называется решение вида
y (x,C1,..., Cn),
из которого любое частное решение получается при
некоторых значениях постоянных |
. |
C ,..., Cn |
|
1 |
|
7
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Если дифференциальное уравнение (1) порядка n можно свести к уравнению порядка более низкого, то говорят , что уравнение допускает понижение порядка.
Промежуточное уравнение вида
(x, y, y ,..., y(n 1)) C1.
Называется первым интегралом уравнения (1), если
dxd (x, y, y ,..., y(n 1)) F(x, y, y ,..., y(n)) 0
8
Уравнения, не содержащие явно неизвестную
функцию
|
F(x, y , y ) |
|
0, |
|
• Уравнения вида |
|
|
|
|
не содержащие явно неизвестную функциюy y(x),
заменой y z(x) |
|
приводятся к |
|
уравнению |
|
|
первого порядка. |
|
F(x,z,z ) 0 |
|
|
9