ВЫШМАТ
.pdf•Левая часть уравнения (1) обозначается специальным образом
L y |
y(n) a (x)y(n 1) ... a |
(x)y a (x)y (2) |
|||
|
1 |
|
n 1 |
n |
|
и называется линейным дифференциальным |
|
||||
оператором. |
|
|
|
|
|
• Оператор L y |
обладает следующими свойствами |
||||
|
|
|
cL y , |
|
|
|
L cy |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
L y y L y L y
1 2 1 2
•Оба свойства непосредственно вытекают из соответствующих свойств операции дифференцирования
30
Суперпозиция решений линейных однородных дифференциальных уравнений
Линейное однородное д.у. порядка n коротко
можно записать через введённый оператор L y : |
||||
|
L y 0. |
|
|
|
|
(3) |
|
||
|
|
|
|
|
Теорема 1 (О суперпозиции решений) . Если |
|
|||
функции |
y1(x),..., ym(x) |
являются решениями |
||
линейного однородного д.у. (3), то их линейная комбинация
y(x) c1y1(x) ... cm ym(x)
также является решением линейного однородного д.у.(3).
31
•Доказательство. Из свойств линейного оператора следует
L y(x) |
|
|
|
|
... c |
L y |
(x) |
0. |
|
c L |
y (x) |
||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
32
Линейная зависимость и линейная независимость функций.
• Определение. Функции y1(x),..., ym(x) называются |
||||
линейно зависимыми на интервале |
(a,b) |
, |
||
если существуют такие числа , ..., m |
, что |
|||
выполняется равенство |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) ... m ym(x) 0, x (a,b). |
||||
1 1 |
|
|
|
|
При этом хотя бы одно из чисел |
..., m |
отлично |
||
от нуля. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
•В противном случае функции называются линейно
независимыми.
33
•Линейная зависимость означает, что хотя бы одна из
функций y1(x),..., ym(x)
является линейной комбинацией остальных функций. Например, если в определении линейной
зависимости |
1 0 |
, то справедливо равенство |
|
||
y (x) c y (x) ... cm ym(x). |
||
1 |
2 2 |
|
34
Определитель Вронского
• Определение. Пусть функции |
y (x),..., ym(x) имеют |
||
производные до порядка m 1 |
1, тогда определитель |
||
вида |
|
|
|
|
y (x) |
ym(x) |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
W (x) |
|
|
|
|
y (m 1)(x) |
y (m 1)(x) |
|
|
1 |
m |
|
|
|
|
|
• называется определителем Вронского (или
вронскианом).
35
Признаки линейной зависимости функций
• Теорема 2. Если функции
y1(x),..., ym(x), x (a,b) ,
• имеющие непрерывные производные до порядка m 1 , линейно зависимы, то
определитель Вронского равен нулю для всех
x (a,b).
.
36
Доказательство.
• По определению линейной зависимости существуют
такие числа , ..., m |
, что выполняется |
|
равенство |
1 |
|
|
|
|
1y1(x) ... m ym(x) 0, x (a,b).
• При этом хотя бы одно из чисел ..., m |
отлично |
1 |
|
от нуля. |
|
37
• Дифференцируя это равенство m 1 раз, приходим к системе
y (x) ... |
|
y |
(x) 0, |
x (a,b) |
|
|||
|
1 |
1 |
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
(x) 0 |
|
|
|
y (x) ... |
m |
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ym1 (x) 0 |
|
||
ym1 (x) ... |
|
|
||||||
|
1 |
1 |
|
|
m |
m |
|
|
имеющей нетривиалные решения |
1..., m |
. Следовательно, |
||||||
определитель системы |
W (x) 0 |
равен нулю для всех x (a,b). |
||||||
38
Достаточное условие линейной независимости
• Следствие. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке x (a,b) , то
функции 0
y1(x),..., ym(x), x (a,b)
линейно независимы.
• Пример. Установить, что система функций
sin x, cos x
• линейно независима.
39