Истороия

Через некоторое время гиксосов изгоняют и начинается Новое царство, столицей которого остается г. Фивы. Наиболее известными фараонами этой эпохи были Тутмос I, завоевавший земли до Ефрата, и Рамсес II (1317-1251

г.до н.э.), который воевал с хеттами в Сирии.

В670 г. до н.э. Египет был завоеван ассирийским царем Асархаддоном. в 655 г. до н. э. Псаметтих I изгнал ассирийцев и основал последнее самостоятельное древнеегипетское государство со столицей в г. Саисе в дельте Нила. В это время Мемфис вновь возвышается как религиозный центр.

В525 г. до. н. э. Египет был захвачен персидским царем Камбизом, а в 332 г. до. н. э. - Александром Македонским. Александр Македонский основывает в устье Нила город Александрию, которая после смерти Александра становится столицей эллинического государства Птолемеев.

Коротко можно охарактеризовать хронологию развития Египта с точки зрения развития истории культуры и истории науки с помощью следующей таблицы.

ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ ОБЗОР

11

ОБЩАЯ ИСТОРИЯ		ИСТОРИЯ КУЛЬТУ-		ИСТОРИЯ НАУКИ
		РЫ
3000 до н.э.	Менес.	Иероглифы	Пирами-	счет до 100000
Древнее царство		ды
2000-1800	до. н.э.	Литература. Ювелир-		Папирусы		Райнда и
Среднее царство		ное искусство.		Московский. Звездные
				календари		на крыш-
				ках гробов
1700 до н.э. Владыче-				Ахмес	переписывает
ство гиксосов				папирус Райнда
1600 - 1100 до н.э. Но-		Новое	богословие	Очень	примитивны
вое царство.		(Эхнатон).	Архитек-	наука о звездах.
		тура. Скульптура.
300 до н.э. - 300 н.э.		Александрия - центр		Высший		расцвет
Эллинизм.		греческого искусства и		греческой науки. Еги-
		науки. Появление аст-		петская арифметика и
		рологии.		астрономия		остаются
				на очень примитивном
				уровне.

2.3Дешифровка папирусов 1. Виды древнейшей писеменности. Иероглифы, пиктографическая, иератическая, демотическая письменность, клинопись. 2. Время забвения древнейших языков. 3. Открытие Жана Франсуа Шампольона. 4. Исследователи папирусов Райнда и Московского. 5. Писцы - носители знаний, их роль в развитии математики. Предназначение папирусов. 6. "Белые пятна"в древнейшей истории.

Древнейшие письменные знаки представляли из себя иероглифы, а древняя письменность представляла из себя рисуночное или пиктографическое письмо ("пиктус латинское слово, означающее "писанное красками", "графо греческое слово, означающее "пишу"). Иероглифы (рисунки) изображали людей, животных, птиц, насекомых, предметы обихода и т.д. Вначале каждый рисунок передавал целое слово, позднее рисунки стали употребляться как слоги и буквы. Так возникла иероглифическая система. Со временем рисунки упрощались и становились схематичными. При быстрой записи на папирусе очертания рисунка округлялись, превращаясь в волнистые линии завитки,

12

окружности и т.п. Так что в эпоху Среднего царства иероглифическое письмо было заменено более легким так называемым иератическим письмом. В эпоху Нового царства появилось еще более доступное демотическое письмо.

Как мы уже отмечали в междуречье в основном писали на глиняных табличках и это придавало свою специфику древней письменности народов, населявших междуречье (клинопись).

Различные древнейшие виды письменности существовали в странах Востока три тысячелетия. Но постепенно их вытеснили более простые и удобные алфавиты - финикийский, арамейский и позднее греческий. Наступило время, когда старинные тексты никто уже не мог прочесть. Сотни тысяч иероглифических и клинописных текстов были погребены под развалинами городов и на дне гробниц. Путешественники, которые находили эти тексты, не могли их прочесть. Порой, трудно было даже установить, что было изображено на папирусе, клинописной дощечке или надгробной плите: надпись или узоры. Только лишь в девятнадцатом веке был найден способ дешифровки загадочных текстов.

Тайну египетской письменности удалось в основном раскрыть гениальному французскому ученому Жану Франсуа Шампольону (17901832). Он начал с надписи на каменной плите, найденной в 1799 году в предместье египетского города Розеты французскими саперами из армии Бонапарта. Копия Розетской надписи попала в Париж в 1802 году. Часть текста на этой плите была написана на древнегреческом языке, который знал Шампольон. Этот же текст повторялся на двух разновидностях древнеегипетского языка. Первый из них был очень древним и основан на иероглифах, а второй был более поздним - разновидностью скорописи. Шампольон смог сравнить древнегреческий текст с древнеегипетским иероглифическим и нашел ключ к разгадке древнеегипетской письменности. Его идеи развили и продолжили египтологи других стран, в том числе и России. Папирус Райнда был изучен его издателем А. Эйзенлором, а затем В.В. Бобыниным. Московский папирус был исследован Б.А. Тураевым и его учеником В.В. Струве.

Оба математических папируса относятся к эпохе Среднего царства. Египетская культура достигла уже высокого материального и духовного расцвета. Носителями научных знаний являлись писцы - чиновники, которые состояли на государственной или храмовой службе. Это были уважаемые люди, они освобождались от налогов и пользовались привилегиями. В одном из доку-

13

ментов той эпохи говорится:

Писец - он руководит всеми, и не обложена налогами работа в письме, На нее нет налогов, Заметь себе это. Это больше, чем любая должность, и нет ничего равного им в стране этой.

Найденные два папируса были предназначены для учебных целей. В папирусе Райнда написано, что он посвящен

совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию тайн.

Из этой цитаты ясно, как высоко ценились математические знания в то время.

Важно подчеркнуть, что, к сожалению, наука не располагает пока данными о положении в математике до времени написания двух папирусов (то есть во время Раннего и Древнего царств) ни после вплоть до математических работ, написанных в эпоху эллинизма и в период распространения ислама. Хотя во время до написания папирусов имеются числовые записи и рисунки на каменных плитах и стенах, из которых видно, что художники умели рисовать фигуры в уменьшенных размерах при помощи квадратных сеток. Существовала письменность нумерация и метрология. Был разработан календарь (год делили на 12 месяцев, по 30 дней в каждом и в конце года добавляли еще пять дней. Это было время строительства первых пирамид.

Остается открытым вопрос, что происходило в математике в эпоху Нового царства и позднее вплоть до ассирийского завоевания, саисского царства и персидского завоевания. Ничего неизвестно о развитии математики и далее, в эпоху расцвета культуры и искусства (вспомним с восхищением о головке Нефертити). История I тысячелетия до нашей эры являлась полосой упадка страны и господства завоевателей - эфиопов, ассирийцев и персов. После завоевания Египта Александром Македонским начинается процесс плодотворного синтеза греческой и египетской культур. Александрия становится крупнейшим центом науки и это положения сохраняется и долгие годы после 30 г. н.э., когда Египет был завоеван Римом.

14

2.4Египетская арифметика. Становление системы исчисления. 1. Неизменность системы нумерации на протяжении трех тысячилетий. 2. Обозначения некоторых цифр и чисел. Аддивный принцип нумерации, примеры записи чисел. 3. Действия над целыми числами (сложение и вычитание). 4. Умножение и деление нацело. 5. Деление с остатком, аликвотные дроби. Разложение дроби в сумму аликвотных дробей (каноническое представление дробей).

Система нумерации древних египтян оставалась, по свидетельству многочисленных памятников, по существу неизменной на протяжении трех тысячелетий. Менялась только форма числовых знаков вместе с эволюцией египетского письма.

Для единицы употреблялся знак | (вертикальная черта). Этот знак несомненно произошел от примитивного изображения чисел зарубками.

Для десяти употреблялся знак ∩. Возможно, он что-то символизировал, но

пока неизвестно что.
Сотня изображалась знаком	имевшим значение "измерительная верев-
ка".
Тысяча изображалась знаком	символизирующим неопределенное мно-
жество.
Десять тысяч изображалась знаком		, что означало поднятый кверху
палец.

Существовали также знаки для 100000 (сидящая лягушка) и миллиона (удивленный человек с поднятыми руками).

Нумерация Египтян была аддитивной и в начертании целых чисел строго применялся поразрядный принцип. Числа, меньшие десяти, обозначались простым повторением знака единицы (например, запись |||||| обозначала число 6). Таким же образом повторялись знаки десяти и сотни, например запись

∩ ∩ ∩ обозначала 30, запись	обозначала 200. Например, число 235 пред-
ставлялось следующим образом	.

15

Следует также сказать, что направление письма не было строго определенным. Следующие друг за другом знаки располагались часто в вертикальные колонны, читавшиеся сверху вниз. Переход от предшествующей колонны к следующей происходил справа налево. Однако иногда порядок чтения менялся (тогда все знаки подвергались зеркальному отображению).

Важно отметить, что направление, в котором понижались в числовых записях разряды чисел, всегда совпадало с направлением чтения.

Как мы уже отмечали по мере распространения письма на бумаге (папирусе) иероглифическое письмо (которое было характерно для надписей на стенах и надгробных плитах) постепенно преобразовывалось в более упрощенное иератическое письмо. Вместе с этим изменялись и обозначения чисел, все более приближаясь к современной десятичной системе и отличалась, от нее только лишь отсутствием позиционного принципа. Дело в том, что с ускорением письма повторяющиеся знаки одного и того же разряда сливались воедино, что приводило к образованию новых цифр.

Приведем таблицу иератических цифр в форме, используемой в папирусе Райнда.

2.5Действия над целыми числами.

Сложение и вычитание целых чисел в египетской нумерации ничем не отличается от аналогичных действий с числами в десятичной позиционной систе-

16

ме. В иероглифической системе сложение, например, сводится к присчитыванию знаков одинакового разряда и замене десяти знаков низшего разряда одним знаком высшего. Точно также, как это делается на счетах. По-видимому у египтян существовал и счетный прибор, аналогичный счетам. Вероятно он отличался от счетов тем, что камешки, которые служили для обозначения единиц различных разрядов, не передвигались по скрепляющих их нити, а помещались в отделение счетной доски. Отметим, что термин "калькуляция", перешедший во все европейские языки с латинского языка и означающий "подсчет", буквально понимается как "счет камешками". Латинское слово "calculas"означает камешек.

Умножение целых чисел производилось египетскими вычислителями с помощью приема, уходящего в древние времена. В оcнове этого приема лежит операция удвоения, которая играет важнейшую роль во всей арифметике египтян.

Рассмотрим пример умножения 213 на 37. Мы будем поступать так же, как и египетские математики, но применять современные обозначения.

Египетский вычислитель составляет следующую таблицу.

/1 213

2426

/4	852
8	1704
16	3408
/32	6816

в которой каждое следующее число правого столбца получается удвоением предыдущего (по-видимому при удвоении складываются два одинаковых числа). В левом столбце помещаются соответствующие множители вида 2k . Таблица продолжатся до тех пор, пока в левом столбце не появится наибольшее из чисел вида 2k меньших второго сомножителя (в нашем при мере это будет число 32 = 25, которое меньше числа 37).

Это наибольшее число левого столбца помечается наклонной черточкой. Такой же черточкой помечаются и те числа из левого столбца, так чтобы в сумме все помеченные числа давали в сумме 37. В нашем случае это числа 4

и 1, так что 32 + 4 + 1 = 37.

Заметим, что такие числа всегда найдутся, так как верен следующий результат.

17

Любое целое положительное число меньшее 2k представляется единственным способом в виде a12k−1 + ak2−2 + . . . + a3, где ai {0, 1}.

Фактически египтяне получали нечаянно запись числа 37 в двоичной системе счисления. Для этого достаточно слева от помеченных чисел поставить 1, а слева от не отмеченных чисел поставить нули. Тогда записав подряд все полученные нули и единицы, начиная снизу горизонтально, получим представление числа 37 в двоичной системе исчисления: 100101. Расстановку наклонных черточек вычислитель производил, например, следующим образом. Он шел снизу вверх и пропускал те числа, которые после прибавления превышали число 37.

После разметки чисел в левом столбце вычислитель составлял сумму чисел из правого столбца, стоящих напротив этих отмеченных чисел. Таким образом, весь процесс счета задавался следующей таблицей.

/1 213

2426

/4	852
8	1704
16	3408
/32	6816

7881

|Деление целых чисел также осуществлялась с помощью операции удвоения. Предположим, что нам надо разделить 7881 на 213. Следуя египетскому вычислителю, составим таблицу.

/1 213

2426

/4	852
8	1704
16	3408
/32	6816

Удвоение продолжается до тех пор, пока следующее удвоение не даст число большее, чем 7881. Затем вычислитель пытается разложить число 7881 в сумму некоторых чисел, взятых из правого столбца. Если это удается, то деление произведено нацело и частное получается как сумма чисел левого столбца, стоящих напротив выбранных чисел из правого столбца. В нашем случае 7881 = 6816 + 852 + 213 и, значит, частное есть число 37 = 32 + 4 + 1.

18

Еще пример, разделить 221 на 17. Составляем таблицу.

/1	17
2	34
/4	68
/8	136

Удвоение продолжаем до тех пор, пока следующее удвоение не дает число большее, чем 221. Убеждаемся, что 136+68+17 =221. Следовательно, частное от деления 221 на 17 равно 13.

Рассмотрим пример деления, когда не получается деления нацело. В этом случае сумма отобранных чисел в левом столбце даст только целую часть частного.

Получение дробной части с точки зрения современного вычислителя не представляет никакого труда. Остаток (являющийся разностью между делимым и суммой чисел, с помощью которых была найдена целая часть частного) является числителем дроби, а делитель служит знаменателем. Но египетский вычислитель не считал процесс законченным, ибо он совершенно по-другому подходил к представлению дробей. Этому вопросу будет посвящен следующий параграф, а пока рассмотрим пример, когда деление не происходит нацело. Разделим 5544 на 185

Составляем таблицу

/1	185
2	370
/4	740
/8	1480
/16	2960

Вычисляем, что 2960 + 1480 + 740 + 185 = 5365. Затем находим остаток 5544 − 5365 = 179. Тогда целая часть частного равна 16 + 8 + 4 + 1 = 29, а дробная 179/185. С нашей точки зрения процесс закончен, а с точки зрения египетского математика - нет. Он должен представить дробь 179/185 в некотором "каноническом виде". Такому представлению дробей посвящен следующий параграф.

2.6Каноническое представление дробей

Египтяне по-видимому не знали ни десятичных ни обыкновенных дробей. И хотя они могли сказать, что некоторая величина является повторением

19

скажем пять раз седьмой доли другой величины, но с их точки зрения такое представление не было "каноническим"представлением одной величины в долях другой величины, принятой за единицу. Так что выражение 179/185 с точки зрения египетского вычислителя было незаконченным. Египетский математик должен был представить эту дробь в виде так называемых "основных"дробей. К основным дробям относились все дроби вида 1/k, которые называются аликвотными, и еще дробь 2/3. Для обозначения аликвотных дробей египтяне писали число, которое мы ставим в знаменателе, а над ним (или перед ним помещали знак , который означал также и определенную меру емкости (примерно 0,17 л). Таким образом, значки

обозначали соответственно 1/5, 1/10, 1/15. Следуя O. Нейгебауеру, мы будем

¯ ¯

обозначать аликвотную дробь 1/k символом k, например, 5 = 1/5, 10 = 1/10,

¯

15 = 1/15. Дробь 2/3 мы будем обозначать 2/3. Итак, каноническим выражением дроби у египетских математиков древности служило представление

¯	¯
ее в виде суммы аликвотных дробей вида k	и дроби 2/3.

Деление целого числа на целое в общем случае.

Для получения канонического представления дробной части остатка от деления одного целого числа на другое египтяне использовали процесс обратный удвоению - образование половин. В простейшем случае, когда делитель есть степень двойки, этот процесс всегда приводит к цели.

Предположим, что мы хотим разделить 19 на 8. Составляем таблицу.

18

/2	16
¯	4
2
¯	2
/4
¯	1
/8

В этой таблице удвоение совершается один раз, так как следующее удвоение дало бы число большее делимого. Затем совершается деление пополам до тех пор пока справа не появляется 1. Целая часть результата равна 2, так как это число находится напротив 16. Вычтем из делимого 19 "частное произведение"16, тогда получим 3. Это число надо составить в виде суммы чисел правого столбца. Получаем 3 = 2 + 1. Отметим косыми черточка-

20