Истороия

лить пределы каждой из этих групп аксиом, изучая не только следствия каждой из них изолированно, но и различные "геометрии", полученные при изъятии или изменении некоторых из этих аксиом.

Теорема 1. Аксиоматика планиметри Лоачевского не противоречива, если не противоречива аксиоматика геометрии Эвклида.

Теорема 2. Если аксиоматика Эвклида непротиворечива, то в планиметрии Эвклида нельзя доказать пятый постулат.

Доказательство. Если бы из первых 19 аксиом планиметрии Эвклида можно было вывести V -й постулат, как теорему, то оказалось бы, что

эта теорема имеет место и в геометрии Лобачевского, что противоречило бы постулату V .

Отметим, что непротиворечивость геометрии Эвклида сводится к непротиворечивости арифметики.

Решение вопросов, поставленных Лобачевским связано с построением конкретных реализаций системы аксиом.

Укажем одну из таких реализаций для эвклидовой планиметрии. Эта реализация называется Декартовой.

Точкой мы будем называть любую упорядоченную пару вещественных чисел x, y.

Прямой будем называть совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

ax + by + c = 0.

Понятно, как определяется условие принадлежности данной точки какой-нибудь прямой. Далее легко вводится отношения порядка точек на прямой.

В самом деле, для точек на прямой, заданной уравнением ax + by + c = 0, мы определяем следующим образом. Если b =6 0, то A1(x1, y1) < A2(x2, y2) в одном направлении определяется условием x1 < x2), а в противоположном - условием x2 < x1). Если b = 0, то A1(x1, y1) < A2(x2, y2) в одном направлении определяется условием y1 < y2, а в противоположном y2 < y1.

Далее вводится группа движений по извeстным формулам

x′ = xcosθ − ǫysinθ + a,

61

y′ = xsinθ + ǫycosθ + b (ǫ = 1, −1).

При таком конкретном понимании точек и прямых и отношений между ними, кадая из аксиом эвклидовой геометрии предстваляет собой некоторое утверждение, относящееся к вещественным числам.

Можно проверить, что все эти утверждения имеют место в силу соответсвующих теорем арифметики.

4.12Творчество Архимеда. 1. Архимед – ученый, принадлежащий к числу тех людей, кто определил судьбу науки и человечества (сравнение с Ньютоном). 2. Краткая биография. 3. Интегральные методы. 4. Дифференциальные методы. 5. Исчисление песчинок. 6. Значение творчества Архимеда для развития математики.

Архимед принадлежит к числу ученых, чье творчество определило судьбу науки и, как следствие, судьбу человечества. В этом он схож с Ньютоном. Между творчеством Архимеда и Ньютона можно провести параллели. Схожая область интересов: математика, физика, астрономия; схожие гениальные способности, умение проникать в самую глубь явлений; огромная популярность среди самой широкой общественности - эти имена известны представителям всех слоев общества.

Архимед родился в 287 году до н.э. в богатом торговом городе Сиракузы в Сицилии. Отец его был астроном Фидий, который привил сыну любовь к точным наукам. По-видимому, Архимед посещал Александрию, где пользовался ее знаменитой библиотекой и общался с александрийскими учеными, с которыми имел переписку всю последующую жизнь.

Отметим, что эта переписка была научной и, в некотором смысле, была аналогична статьям в современных журналах. В этих письмах Архимед сообщал новые результаты, которые излагались со всей строгостью

Иногда он сообщал свои теоремы без доказательства, чтобы математики Александрии сами попробовали их доказать, а иногда Архимед добавлял несколько ложных гипотез, чтобы таким образом показать людям, поверившим в эти гипотезы, их безграмотность. По воспоминаниям историков Архимед погиб во время взятия Сиракуз римлянами. Город долго не могли захватить благодаря замечательным орудиям, изобретенным Архимедом. Мы не будем подробно останавливаться на многих замечательных открытиях Архимеда в области физики и механики. Достаточно указать,

62

закон Архимеда о силе действующей на тело, погруженное в жидкость, сказать, что Архимед был основателем теоретической механики (в частности, статики), оптики и др. Однако, основным делом его жизни все же была математика.

4.13Интегральные методы Архимеда

Что означало измерение для греческих геометров? После открытия несоизмеримых они опасались приписывать какие-нибудь числа длинам криволинейных дуг, площадям криволинейных фигур и т.д. Так как греки не могли найти общую меру для несоизмеримых фигур, они не измеряли геометрически объекты, а лишь сравнивали их между собой и вычисляли их отношения. Они сравнивали длины дуг кривых с длинами прямолинейных отрезков - спрямляли кривые, а площади криволинейных фигур сравнивали с площадями прямолинейных фигур.

Квадратура некоторой фигуры этимологически как раз и означала построение квадрата (треугольника, многоугольника), имеющего площадь, равную площади рассматриваемой криволинейной фигуры.

Кубатура - это обобщение квадратуры на пространственный случай. Подчеркнем, что все построения должны были выполняться циркулем и

линейкой.

Для греков задача вычислить площадь какой-нибудь фигуры была некорректной, но нахождение отношения двух площадей было вполне допустимым.

В работах Евдокса, Эвклида и Архимеда был развит метод исчерпывания, который позволял сравнить площадь какой-нибудь криволинейной фигуры с известной площадью некоторой стандартной прямолинейной фигуры, например, квадрата или треугольника.

При этом была введена аксиома Архимеда.

Если даны две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а затем из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин.

Предвестником этой аксиомы было учение Евдокса (408-355) о пропорциях, который был еще и автором метода исчерпывания, с помощью которого

63

он доказал теорему об объеме пирамиды. Евдокс изучал математику у Архита Тарентского (428-365) - друга Платона, последователя Пифагорейской школы. Евдокс организовал в греческом городе Книде школу, после того как долго путешествовал по Греции и Египту.

В замечательной работе "О квадратуре параболы", которая была одна из первых математических работ Архимеда, доказано:

произвольный сегмент, ограниченный прямой и параболой, равен учетверенной трети треугольника, имеющего с сегментом общее основание и равную высоту.

Решение этой задачи сводится к вычислению геометрической прогрессии

				1			1			1
			A +		A +				A + . . . +						A + . . .
								2				n−1
.				4			4			4
Для ее вычисления Архимед исльзовал тождество
	A +	1		1						1			1				1		4
			A +			A + . . . +					A +							A =		A.
				2						n−1			3 4				n−1
		4		4						4									3
Когда число сторон вписанного многоугольнника растет остаток
1	1

3 4N−1 A стремится к нулю. На рисунке показан метод исчерпывания для

вычисления искомой площади.

Площадь треугольника ABC превышает половину площади парболиче-

ского сегмента, затем строятся новые два треугольника, суммарная площадь которых превосходит половину площади суммы сегментов, в которые они вписаны и т.д. По аксиоме Архимеда при достаточно большом шаге остаток может быть сделан сколь угодно малым. Далее Архимед методом от противного доказывает, что площадь сегмента действительно равна 43 A. А именно он доказывает, что площадь S сегмента не может быть меньше и не может быть больше чем 43 A.

Архимед первый применил метод верхних и нижних интегральных сумм, которые теперь называются суммами Римана или Дарбу.

Архимед определил объемы сегментов эллипсоидов, параболоидов и двуполостных гиперболоидов вращения. Фактически Архимед обобщает метод исчерпывания Евдокса. Архимед вычислил также площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда ρ = aϕ.

64

Следует отметить, что хотя Архимед и не ввел понятие определенного интеграла, он свел все решаемые им задачи к определению предела одних и тех же интегральных сумм.

Результаты книги Архимеда "О коноидах и сфероидах"равносильны следующим соотношениям.

	a	a2
	xdx =				,
		2
	0
	a	a3
	x2dx =					,
			3
	0
	a			a3			a2
	(x2 + bx)dx =					+ b		.
	0	3				2

С помощью верхних и нижних интегральных сумм Архимед решил и более трудную проблему - определение длин дуг и площадей кривых поверхностей.

Архимеду удалось найти площадь поверхности сферы, сферического сегмента и дать метод вычисления длины окружности с любой степенью точности. Следует также заметить, что Архимед мог не только доказывать некоторые угаданные им формулы, но и делать вычисления со сколь угодно большой степенью точности и в случае, когда окончательная формула для вычисления не известна.

4.14Дифференциальные методы Архимеда

В сочинении "О спиралях" Архимед разработал методы определения касательной. Эти методы были применены лишь в одном случае - для нахождения касательной к спирали ρ = aϕ. Однако эти методы столь же

универсальны, как и его интегральные методы и могут служить для нахождения касательной к любой дифференцируемой кривой.

По-существу, Архимед нашел необходимое условие экстремума, сводя его к нахождению точки касания двух кривых.

65

4.15Исчисление песчинок

Отметим весьма интересную работу Архимеда "Исчисление песчинок" ("Псаммит"). В этом труде Архимед разработал способ, позволяющий регулярно выражать сколь угодно большие числа посредством специальной системы наименований десятичных разрядов. Мириадой Архимед называл число равное 10000. Числа до мириады мириад, то есть до 108 именуются

первыми; 108 принимается за единицу вторых чисел, следующих до 108×2−1;

108×2 принимается за единицу третьих чисел, следующих до 108×3−1 и т.д. вплоть до мириадо-мириадных чисел от 108×(108−1) до 108×108 (исключая

последнее число). Все эти числа составляют первый период.

Аналогично, начиная с 108×108 строятся первые, вторые и т.д. числа вто-

рого порядка, причем конструкция доводится до мириадо-мириадного периода и числа 108×108×108 , но может быть продолжено и далее.

Архимед показал, что число песчинок, заполняющих шар, ограниченный сферой, диаметр которой превосходит диаметр земли в десять тысяч раз, не превосходит числа 1063 - тысячи мириад единиц восьмых чисел первого периода, то есть 103 × 104 × 108×7.

Интересно отметить, что в переводах Архимеда на арабский язык, относящихся к VII веку (нашей эры) имеется сочинение "О параллельных линиях". Возможно Архимед одним из первых пытался доказать пятый постулат Эвклида.

4.16Значение творчества Архимеда для развития математики

Подводя итоги творчества Архимеда, следует сказать, что он фактически предвосхитил создание дифференциального и интегрального исчисления. В то время оно не могло быть создано, так как отсутствовала аналитическая база, буквенное исчисление, освоение более широкого класса функций, создание аналитического аппарата для их выражения. Исследование Архимеда не получили развития в древности. Дважды человечество открывало Архимеда и делало попытки продвинуться дальше по открытому им пути. Первый раз - на арабском Востоке, второй - в Европе в 16-17 вв.

В арабском мире в IX веке Саббит ибн Корра и его школа овладели ме-

тодом верхних и нижних интегральных сумм и вычислили (говоря на со-

66

временном языке) несколько новых интегралов. Однако далеко они не продвинулись из-за тех же причин, которые были и при Архимеде.

Только после создания буквенной алгебры Виета-Декарта и аналитической геометрии Декарта-Ферма и вместе с успехами физических наук Нового Времени стало возможным создание исчисления бесконечно малых. На это ушли силы многих великих умов 16-17 вв., начиная от Кеплера и Галилея и кончая Ньютоном и Лейбницем. Все они отправлялись от идей Архимеда, стараясь (говоря на современном языке) усилить и обобщить методы великого Архимеда.

Как сказал Лейбниц:

Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим открытиям геометров.

4.17От Архимеда к Кеплеру и Кавальери 1. Творчество Кеплера. Законы движения планет. Вычисление объемов винных бочек. Новые идеи в интегрировании. 2. Бонавентура Кавальери автор метода неделимых.

Первые значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда были сделаны в уже в XVII веке, когда были достигнуты значительные успехи в области алгебры, а с другой стороны стала интенсивно развиваться экономика и техника, требовавшая общих и мощных математических методов изучения и вычисления величин.

Пальма первенства в развитии идей Архимеда принадлежит Иогану Кеплеру (1571-1630) немецкий астроном и математик, который открыл законы движения планет.

Первые его два закона, опубликованные в 1609 году в труде "Новая астрономия" гласят:

каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится солнце;

радиус-вектор, проведенный от Солнца к планенте, в равные промежутки времени описывает равные площади.

Из второго закона видно, что Кеплер сумел вычислить площади, заметаемые радиус-вектором. Его формулировка гласила "сумма радиус-векторов некоторой дуги орбиты относится к сумме радиус-векторов всего эллипса, как время использованное для прохождения этой дуги, относится ко времени, тебуемому для полного оборота эллипса.

67

Эта формулировка говорит, что Кеплер рассматривал фигуру как состоящую из мелких частиц, отрезков.

1612 год для жителей австрийского города Линца, в котором тогда жил Кеплер, был очень урожайным, особенно по винограду. Люди изготовляли бочки, объем которых необходимо было вычислять. Кеплер в 1615 г. написал работу "Новая стереометрия винных бочек", в которой вычислил площади плоских фигур и поверхностей, а также объемов, основываясь на разложении фигур и тел на бесконечное число малых частей, которые он называл тончайшими кружочками или частями крайне малой ширины. Из этих мельчайших частиц после суммирования получалась фигура эквивалентная первоначальной, и площадь или объем которой была известен.

Кеплер отбросил строгость греков и стал более вольно обращаться с вычислением бесконечных сумм. Оо заменил окружность правильным многоугольником с бескоенечным числом сторон.

Далее методы интегрирования развивал итаьянский математик Бонавентура Кавальери (1598-1647) - ученик Галилея. В труде "Геометрия", опубликованномв 1635 году, он ввел новый метод определения площадей и объемов, так называемый метод неделимых. Неделимыми он называл параллельные между собой хорды плосокй фигуры или части паралельных плоскостей тела. Плоскую фигуру он рассматривал как множество заполняющих ее "линий", а пространственное тело как множество сосотоящее из "неопределенного числа параллельных плоскостей". Кавальери говорил, что линия образована из точек, как ожерелье из жемчужин, площадь из линий, как ткань из нитей, а тело из плоскостей, как книга из страниц.

Кавальери отдавал себе отчет в трудностях суммирования бесконечного числа элементов.

Кавальери сформулировал следующий принцип определения отношений сумм всех неделимых:

если две плоские (пространственные фигуры) заключены между одними и теми же двумя параллельными прямыми (плоскостями) и если неделимые обех фигур, находящиеся на одной праллели, имеют постоянное отношение, то и "суммы всех неделимых"сравниваемых фигур будут иметь то же отношение, а площади и объемы сравниваемых фигур относятся между собой, как суммы соответсвующих неделимых.

Таким образом, он определял отношение площадей фигур, неделимые ко-

68

торых находятся в постоянном отношении.

Например, он доказывал, что площадь параллелограма равна удвоенной площади каждого из треугольников, на которые разбивает параллелограмм его диагональ. При этом он разбивал треугольники на линии таким образом, что отношение соответствующих линий равно единице (см. рис.). Кавальери говорил: сумма всех "линий"треугольника ABC равна сумме всех "линий"треугольника DBC, и эти треугольники имеют равныне площади. Сумма всех "линий"параллелограмма ABCD равна удвоенной сумме "ли-

ний"одного из треугольников. Метод Кавальери вызывал много критики, но и много восторгов, так как с помощью этого метода ему удавалась получать правильные результаты.

Под термином "линия"Кавальери понимал нашу ординату y при рас-

смотрении криволинейной трапеции. Для обозначения суммы всех "линий"(ординат) Каваьери использовал символ omn (omnes lineae - все ли-

нии).

Позднее Лейбниц писал:

"Целесообразно писать знак вместо omn и l вместо "все линии". От знака l Лейбниц позднее перешел к знаку y, а затем к символоу ydx.

Можно сказать, что понятие "все линии"по Кавальери эквивалентно то-

a

му что мы сейчас обозначаем , где a - длина инциденты, то есть расстоя-

0

ние между двумя крайними прямыми, параллельными регуле - образующей. Фактически Кавальери приблизился к вычислению интеграла как сумми-

рования ydx.

С помощью своего принципа Кавальери удалось вычислить, говоря на со-

a

временном языке, интегралы xmdx для m = 1, . . . , 9.

0

Последователями Кавальери были Валлис, Дж. Валлис, П. Ферма и Б. Паскаль, которые подготовили в XVII веке создание дифференциального и интегрального исчисления. Завершение же принадлежит, как хорошо известно, Ньютону и Лейбницу.

4.18Конические сечения Апполония

Апполоний родился в Пергах в Малой Азии. Основные его результаты относятся примерно к 210 г. н.э. В то время он жил в Александрии, куда он приехал юношей и где учился под руководством математиков школы Эв-

69

клида. Апполоний прославился как геометр и астроном. Умер Апполоний около 170 г. до. н.э.

В математике Апполоний известен как автор труда под названием "Конические сечения", в котором он дал полное изложение теории конических сечений.

Труд "Конические сечения"состоит из восьми книг. Первые четыре дошли до нас по-гречески, следующие три в арабском переводе Сабита ибн Корры. Последняя восьмая книга утеряна. Имеется реконструкция ее текста, принадлежащая английскому астроному Э. Галлею (XVIII в.).

Кривые второго порядка впервые появились при решении задачи удвоения куба. Менехм, живший около 360 г. до н.э., и являвшийся учеником Евдокса и его преемником в руководстве школой в Кизике, представил их как плоские сечения прямоугольного, тупоугольного и остроугольного конусов вращения. Сечения проводились перпендикулярно образующей. Тогда в случае остроугольного конуса получался эллипс, в случае прямоугольного получалась парабола, а в случае тупоугольного получалась гипербола.

Менехм нашел основное свойство каждого из сечений, которое мы называем уравнением, а древние называли симптомом. В современных обозначениях симптом оказался уравнением второго порядка.

Апполоний дал более общий метод получения конических сечений. Он предложил рассмотреть произвольный круговой конус, причем обе его полости (что дало возможность получить обе ветви гиперболы) и проводить сечение конуса под любым углом к образующей. Таким образом он получил все три конические сечения. При этом:

в сечении получается эллипс, если плоскость пресекает только одну полость;

парабола, если плоскость параллельна образующей конуса; получается гипербола если плоскость пересекает обе полости конуса.

Апполоний впервые вводит термины эллипс, парабола, гипербола и также устанавливает симптомы этих кривых. В современных обозначениях симптомы Апполония имеют вид y2 = 2px ± ap x2, где эллипсу соответству-

ет знак "минус", параболе соответствует равенство нулю второго члена, и гиперболе соответствует знак "плюс".

При отсутствии второго члена получаем, что площадь квадрата, построенного на ординате y точки, параболы равна площади прямоугольника

70