Истороия

ми соответствующие дроби напротив выбранных слагаемых. Тогда получим, 19 = 8 × 2 + 8 × (1/4 + 1/8). Отсюда получаем, что частное от деления 19

¯¯

на 8 выражается по-египетски смешанным числом 248. Когда делитель не есть степень двух, то невозможно получить желаемый египтянам результат (получение дробной части частного в виде суммы основных дробей) только с помощью процесса удвоения. В этом случае процесс удвоения прекращается в некоторый момент (как правило, когда получается первое число, меньшее делимого и для выражения оставшейся части делимого подыскиваются в долях делителя удобные основные дроби.

Приведем пример деления 180 на 250, которое выполнено в 56 задаче Райнда.

Деление осуществляется в следующей таблице

1	250
¯	125
/2
¯	50
/5
¯	5
/50

Из таблицы видно, что результат деления представляется "поегипетски-

¯¯¯

в виде дроби 2550.

Отметим, что результат деления при таком способе, вообще говоря не будет иметь однозначный вид. Например, разделим 5 на 12 следующим образом.

1	12
¯	4
/3
¯	1
/12

¯ ¯

Получаем ответ 5/12 = 312.

С другой стороны можно деление осуществить по-другому.

1	12
¯	2
/6
¯	3
/4

¯¯

Тогда получаем 5/12 = 64. Получение дробной части результата деления в виде суммы основных дробей в общем случае является весьма трудной задачей. У египтян возникла идея составления вспомогательных таблиц, которые можно использовать при конкретном делении в качестве готовых "опорных"операций.

Такой опорной операцией в египетской вычислительной технике служит деление 2/k, где k - нечетные положительные числа. В самом деле, любое

21

число можно представить в виде суммы степеней двух. Поэтому вопрос о делении целого числа сводится к вопросу о делении числа вида 2k . Например,

11/15 = (8 + 2 + 1)/15 = 8/15 + 2/15 + 1/15.

Предположим, что мы имеем таблицу представления дробей вида 2/k (для нечетных k) в виде суммы основных дробей. Пусть требуется найти скажем 4/k1. Выпишем из таблицы выражение

2/k1 = 1/k1 + 1/k2 + 1/k3.

Тогда

4/k1 = 2/k1 + 2/k2 + 2/k3.

Если среди знаменателей суммы есть четные, то мы сразу получаем аликвотную дробь, если же знаменатель дроби число нечетное, то мы снова воспользуемся таблицей. Таким образом после некоторых преобразований мы представим число 4/k в виде суммы основных дробей. Если среди слагаемых появятся одинаковые, то мы еще раз подвергнем их сумму преобразованию. Таким процессом мы можем разложить в сумму основных дробей любое число вида 2l/k.

Итак, с помощью таблиц, содержащих готовые результаты деления 2/k, египетский вычислитель мог выполнять единым способом деление любого целого положительного числа н любое целое положительное число. Такая таблица содержится в папирусе Райнда. Причем папирус начинается именно с такой таблицы, содержащей разложения дробей 2/k до k = 101 включительно. Для получения таблицы египтяне использовали различные приемы. Приведем некоторые из них. Например разложения для всех k = 3n разложения получались по формуле 2/3n = 2n + 6n, то есть

2/3n = 1/2n + 1/6n.

Аналогичным образом можно получить разложения вида

2/5n = 1/3n + 1/5n.

Однако надо заметить, что при составлении таблицы не просматривается какого-нибудь общего метода. Попытку обнаружить такой метод сделал немецкий ученый О. Нейгебауер, однако его исследование является спорным, о чем говорит советский ученый М.Я. Выгодский.

22

2.7Египетская математика. Задачи папируса Райнда. 1. Исчисление кучи 2.

Прогрессии. 3. Геометрические задачи. 4. Значение Египетской математики.

В папирусе Райнда имеется ряд задач (задачи с 24 по 38), которые объединятся как задачи на исчисление кучи. Слово "куча"означает в этих задачах количество, которое надо найти по данным задачи. По-египетски слово "куча"произносилась "аха". Так что еще говорят, что в папирусе содержатся задачи на "аха". В московском папирусе имеется три таких задачи. Следует подчеркнуть, что в этих задачах разыскиваемое число абстрагируется от конкретного смысла, что отличает эти задачи от других, в которых как правило искомая величина имела конкретный смысл.

С современной точки зрения задачи на "кучу"сводятся к решению уравнения

a1x + a2x + . . . + anx + b = c.

Приведем пример такой задачи (34) из папируса Райнда. Неизвестное число обозначается термином "куча". Далее идет условие задачи.

¯ ¯

"Куча ее 2, ee 4, ее целое составляют 10."

Всовременных обозначениях мы составляем уравнение: x + 1/2x + 1/4x = 10,

где x обозначает "кучу". Далее, египетский математик осуществлял деление с помощью удвоений. В папирусе приводится схема вычислений.

/1		1	¯	¯
			2	4
2		3	¯
			2
/4		7
/7		¯
		4
¯		¯
	28
4		2
¯
	14	1
/2

¯¯

52714

В первых трех строках мы имеем обычное удвоение, которое начинается от 1. Дальше удваивать не надо, так как надо набрать в сумме 10. Отмечаем черточками первую и третью строки. Вычисляем устно, что разность меж-

¯¯	¯¯	¯
ду делимым 10 и суммой 7 + 124	= 824	равна 14. Чтобы получить это число

23

суммированием чисел правого столбца, египетский математик берет седьмую

¯¯	¯
часть от делителя 124	и получает справа 4. Как додумался до этого египет-

ский вычислитель мы не знаем (повидимому, он применил какую-то уловку). Затем идет удвоение, однако вместо 2/7 берется каноническое представление

¯		¯	получается сложе-
этой дроби из таблицы 2/7 = 428. Нужный нам остаток 14

нием чисел, стоящих в четвертой и шестой строках правого столбца. Поэтому соответствующие числа левого столбца помечаются наклонными черточками. Результат сложения всех отмеченных штрихами чисел левого столбца дает искомое значение "кучи".

Прогрессии

В папирусе Райнда имеются задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

Приведем текст следующей задачи.

"Наставление как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним

¯

составляет 8 меры. "Далее предлагается решение.

"Средняя доля есть 1 мера. Вычти из 10. Остаток есть 9. Составь половину

¯

разницы; это есть 16. Возьми ее 9 раз; это дает 216. Приложи это к средней

¯

доле; вычитай для каждого лица по 8 меры, пока не достигнешь конца." Затем приводятся все десять долей и делается проверка сложением; сумма

оказывается равной 10 (как и должно быть).

Если обозначить через n число членов прогрессии, s ее сумму d, разность и an n-й член прогрессии, то легко убедиться, что вначале египетский математик находит первый член прогрессии согласно формуле a1 = s/n + d/2(n − 1) и затем предлагает найти все остальные члены последовательно.

Следует подчеркнуть, что автор папируса не имел общей формулы, но он прекрасно понимал, что среднее арифметическое крайних wkemnb равно среднему арифметическому всех членов прогрессии. Он вывел правило нахождения первого члена, исходя из логических соображений. И это свидетельствует об искусности египетских математиков того времени. Однако никакого алгебраического подхода к решению задач на прогрессию (то есть использованию готовых общих формул) в то время, по-видимому, не было.

В папирусе Райнда имеется задача (79), требующая нахождения суммы геометрической прогрессии.

Это задача-шутка, ее текст умещается в таблице.

24

Опись домашнего хозяйства

1	2801	дома	7
2	5602	кошки	49
4	11204	мыши	343
вместе	19607	ячмень	2401
		меры	16807
		вместе	19607

Условие задачи следующее. Имеется 7 домов, в каждом доме живет 7 кошек, каждая кошка съела 7 мышей, каждая мышь съела семь колосьев ячменя, каждый колос, если посеять его семена даст 7 мер зерна. Требуется найти общего числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна. Ясно, что это учебная задача, так как бессмысленно находить сумму разнородных предметов. Самое интересное для нас заключается в том, что сумма возникающей здесь геометрической прогрессии найдена двумя способами. Первый способ примитивный. Он сводится к непосредственному вычислению суммы

7 + 72 + 73 + 74 + 75.

Второй способ сводится к вычислению произведения числа 2801 на 7. Встает вопрос откуда взялось это число 2801. Скорее всего это число есть отно-

шение 75−1 = 7801 (так, например, M Кантор). Но тогда это наводит на

7−1

мысль, что египтяне знали формулу для суммы геометрической прогрессии

Sn = u1 qN −1 . В нашей задаче число членов n = 5, знаменатель прогрессии

q−1

q = 7 и первый член прогрессии u1 = 7.

Следует также отметить, что приведенная задача является задачейпутешественницей по времени. Она появляется в литературе разных народов. Так она появилась в книге Леонардо Пизанского в 1201 году, а также в одной из древнерусских рукописей XVII века. Условия задачи разнились только текстом. Тем не менее, важно подчеркнуть, что их решение было примитивным и не содержало метода, примененного Египтянами.

2.8Египетская геометрия

Геометрические знания египтян относятся к измерению площадей и объемов. Хотя среди них имеется много замечательных результатов все же эти знания не превратилиь в отдельную ветвь математики.

25

Египтяне умели вычислять по точным формулам площади треугольника, прямоугольника и трапеции. При этом не обнаружено, что египетские математики вводили понятие "фигуры". Не было естественно и термина "сторона"многоугольника. В задачах решался вопрос о поле, об участке с границами или с данной длиной и шириной. Пока нет свидетельств, что египтяне знали теорему Пифагора. Не найдено задач, в которых применялись бы ее частные случаи. Правда есть информация греческих ученых, побывавших в Египте и сообщавших о методе построения прямого угла с помощью веревки, поделенной на 12 равных частей. Для того чтобы построить прямой угол концы веревки связывались и затем строился треугольник со сторонами 3, 4, 5. Эти сведения относятся к первому тысячилетию до н.э. Однако, мы скоро узнаем, что теорема Пифагора была известна задолго в древнем Вавилоне.

В задаче 14 Московского папируса решается задача о нахождении объема усеченной пирамиды. При этом совершенно четко просматривается, что египтяне пользовались формулой

v = h3 (a2 + ab + b2),

где h - высота усеченной пирамиды, а a и b - qrnpnm квадратов, являющихся основаниями пирамиды. При выводе этой формулы Египтяне фактически применили алгебраическое преобразование. Этот факт в совокупности с методом решения задачи на геометрическую прогрессию наводит на мысль, о том, что в египетской математике были зачатки алгебраического мышления.

В задаче № 50 Райнда имеется приближенная формула для вычисления площади круга. Площадь круга полагалась равной площади квадрата со строной 8/9 диаметра:

S = ( 89 d)2.

Для того, чтобы получить эту формулу из точной надо положить π ≈ 3, 1605. Заметим, что погрешность при таком приближении составляет менее одного процента. Получение этой формулы можно объяснить следующим образом. Вначале рассмотрим квадрат, описанный около окружности. Тогда первое приближение площади круга равна площади, описанного квадрата за минусом четырех квадратов со сторонами 1/6d. Второе приближение уже дает формулу Египтян и оно получается если из первого приближения вычесть

26

площадь восьми квадратов со сторонами 1/9d. Приведем соответсвующие вычисления. Первое приближение:

S = d2 − 4(1/6)2d2 = d2(1 − 1/9).

Второе приближение:

SS= d2(1 − 1/9) − 8(1/6)2d2 = d2(1 − 1/9) − 1/9(8/9)d2 =

=d2(1 − 1/9) − 1/9(1 − 1/9)d2 = [(1 − 1/9)d][(1 − 1/9)d] =

(8/9d)2.

Мы привели вычисления в таком виде, так как в задаче Московского папируса для вычисления площади круга с данным диаметром предлагается вначале сосчитать величину (1 − 1/9) − 1/9(1 − 1/9), что свидетельствует в пользу гипотезы о методе вычисления площади круга, высказанной А.Е. Раик.

Значение математики древнего Египта

Имеющаяся информация о математики древнего Египта, которая в основном содержится в двух папирусах (Райнда и Московском) позволяет пока утверждать, что египетская математика представляла собой совокупность знаний, которая еше не разделилась на арифметику, алгебру и геометрию. Математика представляла собой совокупность правил для численного решения простейших арифметических, алгебраических и геометрических задач. Проблемы, стоящие перед египетскими писцами, были в основном практическими. Тем не менее, в трудах египетских математиков уже просматриваются попытки обобщения, дедукции и доказательства.

Математики древнего Египта оказали большое влияние на последующую математику. Как мы увидим Греки признавали, что первые сведения из математики они почерпнули во время поездок в Египет.

27

3Древнейшие цивилизации. Вавилон.

3.1 Древнее Двуречье. 1. География народов древнего двуречья. 2. Краткая история. Аккадяне и Шумеры. 3. Аккадская династия. 4. Власть царей шумерского города Ура. 5. Древневавилонское царство. 6. Царствование Хаммурапи. 7. Нововавилонское царство. 8. Персидский период. 9. Греческий период. 10. Шумерская письменность. Глиняные таблички. Клинопись. Знак для 1 и для 10. Направления письма.

Термином "Вавилонская математика" обозначают математическую культуру, созданную народами Южного Двуречья, вошедшими в состав Вавилонского государства. Южное Двуречье - это территория между реками Тигр и Ефрат примерно от нынешнего Багдада до Персидского залива. В четвертом тысячилетии до н.э. Южное двуречье было заселено разными племенами. На севере этой территории жили народности, говорившие на семитических наречиях. Эти народности называли аккадянами по имени города Аккад, занимавшего в течении длительного времени господствующее положение. К югу наиболее выдающуюся роль играли шумеры (сумерийцы), названные в соответствии с названием территории, на которой они жили - Шумер (Сумер). До середины XXIV века до н.э. на территории Шумер создавались недолговечные государства, которые сосуществовали то мирно, то воевали между собой. В середине XXIV века до н.э царь Аккада Саргон подчинил себе двуречье. Его династия ("Аккадская династия") правила двуречьем более 100 лет. Затем она была повержена под ударами завоевателей (около 2200 л. до н.э.). Затем государство, объединяющее двуречье было восстановлено под властью царей шумерского города Ура (2118 - 2007 гг. до н.э.) и снова разрушено иноземцами. Наивысшего своего развития в экономике, культуре и науке Двуречье достигло под главенством города Вавилона. Оно называется "Древневавилонское царство"и просуществовало с 1894 по 1595 год до н.э. При шестом царе вавилонской династии Хаммурапи вавилонское государство достигло полнейшего объединения всех народов двуречья. В это время население всей страны усваивает единый аккадский язык. Шумерский язык уходит из обихода и остается только в богослужении (подобно как латинский язык сохраняется в католицизме). Кроме того шумерская терминология удерживается в судопроизводстве, в медицине и математике. Это похоже на то, что в наше время латынь сохраняется в медицине, а греческие и латинские термины употребляются во всех науках.

28

С 1600 по 1200 гг. до н.э. Вавилонское государство было завоевано касситами. При этом упадок хозяйственной жизни не уничтожил вавилонской культуры и науки. Преемственность вавилонской культуры сохранялась и далее в период с 800 по 700 гг. до н. э. в время завоевания Вавилона ассирийцами. Новый подъем Вавилонская цивилизация испытывает во время "Нововавилонского царства"под управлением халдейской династии с 604 по 538 гг. до н.э.). В это время наблюдается подъем в астрономии и в технике вычислений. Дальнейший подъем происходит во время персидского завоевания с 562 по 331 гг. до н.э. и продолжается при греческой династии Селевкидов с 331 по 140 гг. до н.э. В это время Вавилонская культура оказывает огромное влияние на греческую науку.

Язык Шумеров не имел ничего общего с языками семитическими и индоевропейскими. В середине четвертого тысячелетия в Шумере существовала уже письменность. Дошедшие до нас свидетельства письменности того времени являются старейшими в настоящее время.

Основным материалом для письма служили вначале каменные, а затем глиняные плитки. Древнейшие надписи выцарапанные на каменных табличках носят пиктографический характер. Такие надписи не позволяют понять, на каком языке говорили люди их делавшие. Так что нет уверенности, что все эти надписи принадлежали Шумерам. Постепенно пиктографическая письменность превращалась в письменность адекватную языку. Этот процесс заканчивается на рубеже четвертого и третьего тысячелетий. Аккадяне заимствовали шумерийскую письменность для записи слов на своем языке. Появилась клинопись, то есть запись текстов на сырой глине призматическим палочками с последующим обжигом плиточек. Для единицы употреблялся клинописный знак ! а для десятки <.

В древнейших текстах направление письма было сверху вниз. По мере того, как клинопись становилась слоговым письмом, дощечки для удобства поворачивались на 90 градусов против часовой стрелки и направление письма оказалось горизонтальным - слева направо. Как мы уже отмечали, до нас дошли сотни тысяч вавилонских клинописных дощечек с текстами. Самые раннии относятся к XXXV веку до н.э., а наиболее позднии к I веку н.э.

29

3.2Математичские источники. 1. Археологические раскопки - источники клинописных ткстов. 2. Количество табличек с математическим текстами. 3. Расшифровщики табличек. 4. "Дома табличек" и роль писцов. 5. Назначение математических текстов, зачатки абстрактности.

Как мы уже отмечали, источниками для изучения математики Вавилона являются математические клинописные тексты. Они были обнаружены при археологических раскопках или найдены случайно местными жителями в развалинах старых сооружений. Большая заслуга в расшифровке математических текстов (напомним, что имеется примерно 150 табличек с математическим текстами и примерно 200 с математическим таблицами) принадлежит немецкому исследователю истории математики Египта и Вавилона О. Нейгебауера. Его работы появились в 30-е годы 20-го столетия. Они послужили толчком для целого ряда работ в области исследования изучения Вавилонской математики. Среди них работы Ф Тюро-Данжена, А. Сакса, Э.М. Брейнса, А.А. Ваймана и др.

Как и в древнем Египте математические тексты писались писцами и хранились в храмах. Так же как и в Египте писцы были привилегированными людьми. Достаточно процитировать документ того времени, в котором говорится:

Тот, кто в совершенстве овладеет искусством писать на табличках, будет сверкать подобно солнцу.

Нередко писцами становились сыновья правителей, так как писцы относились к правящему классу. Школы и академии, в которых обучались писцы назывались "Дом табличек."

Имеется следующий документ, в котором описаны требования к писцу.

Писец должен уметь писать понятно, хорошо знать математику, уметь межевать земли, примирить спорящих.

Математические клинописные тексты, как и египетские носят учебный характер и содержат, в основном, расчетные задачи. Однако вавилонская вычислительная техника была значительно совершенней. Среди решаемых задач имеется большое количество алгебраических задач, сводящихся к решению систем линейных уравнений и уравнений второй степени. Правда доказательств, употребляемых правил, вавилонские тексты также не содержат. Однако все же математика приобретает все больше вид абстрактной науки и это, конечно, большой шаг вперед.

30