Истороия

D = 2px (см. рис.). Греческое слово "parabole"означает приложение, то есть построение прямоугольника с данным основанием (2p), равновеликим данному прямоугольнику или квадрату (y2).

Из уравнения видно, что эллипс является геометрическим местом точек, для которых площадь квадрата, построенного на ординате, меньше площади прямоугольника D, а гипербола является геометрическим местом

точек, для которых площадь квадрата, построенного на ординате, больше площади прямоугольника D (см. рис.).

Названия кривых произошли от греческого слово "ellepsis", означающее недостаток и от слова "hyperbole", означающее избыток (преувеличение).

4.19От Апполония к Ферма и Декарту

Аналитическая геометрия установила связь между алгеброй и геометрией. Она возникла в первой половине XVII века. Ее возникновение в это время было обусловлено и ходом развития математики и общими потребностями производства, экономики, науки и торговли того времени.

После Апполония в древней Греции не было крупных открытий в геометрии. В этой науке наступил длительный застой, причинами которого были не только внешние (политические и экономические) условия, но самое главное состояло в том, что геометрическая проблематика классического периода оказалась почти полностью исчерпанной. Все что можно было сделать в геометрии с помощью ограниченного математического аппарата того времени, которым пользовались греки, было ими сделано и это вполне удовлетворяло запросы экономики техники и науки.

Для развития идей Евдокса, Архимеда и Апполония необходимо было расширить понятие числа, ввести в математику символику, понятие переменной величины, систему координат и развить методы дифференциального и интегрального исчисления.

Такое преобразование математики требовало длительного времени и внешних объективных факторов и стимулов, зависящих от производительных сил и производственных отношений. Подобно тому, как установление греческой демократии послужило толчком для развития математики в древней Греции.

Великие географические открытия (Америки 1492 г.), морского пути в

71

Индию в 1498 г.) вызвали дальнейшее бурное развитие производства, торговли, мореплавания, поставили задачи составления географических карт, определения места корабля в море, составление более совершенных тригонометрических и астрономических таблиц, разработки более рациональных метод вычисления. После возникновения в ряде европейских стран новой формы производства началось новое интенсивное развитие науки и техники. В трудах Галилея (1564-1642) и других ученых была разработана новая механика, в которой нуждалась и военная наука (баллистика, изучающая законы движения пуль и снарядов). Учение Коперника (1473-1543) в астрономии привело к открытию Кеплером законов движения планет.

Необходимость в более широких и точных наблюдениях небесных светил привело к построению целого ряда оптических инструментов и к развитию геометрической оптики.

Все эти вопросы науки и техники поставили перед математикой ряд новых задач, неразрешимых старыми методами. Это вызвало в XVII веке создание вначале аналитической геометрии, а затем дифференциального и интегрального исчисления.

В основе аналитической геометрии, созданной П. Ферма и Р.Декартом (1596-1650) лежат две идеи:

1)идея координат, приведшая к арифметизации плоскости (каждой точке плоскости соответствует пара чисел и наоборот);

2)идея истолкования любого уравнения с двумя неизвестными как некоторой линии на плоскости и, наооборот, представлении любой линии, определяемой как некоторое множество точек, соответствующих уравнению.

Термин аналитическая геометрия был введен не ее создателями П. Ферма и Р. Декартом, а значительно позднее французским математиком Cильвестром . Лакруа (1765-1843), который был членом парижской академии автором учебного руководства "Курс математики"(1796-1799), который издавался и на русском языке. Первая же работа, содержащая некоторые начала аналитической геометрии, была написана примерно в середине 30-х годов XVII в. П. Ферма, и названа "Введение в учение о плоских

ителесных местах". К своим идеям Ферма пришел, изучая труды древнегреческих математиков, в том числе и Апполония. Греческие ученые называли "плоскими местами" прямую линию и окружность, а "телесными местами" называли конические сечения. Термин "геометрические ме-

72

ста" (плоское место, телесное место) появился благодаря Аристотелю, который рассматривал линию не как множество точек, а как место, где расположены (лежат) точки.

В предисловии к своей книге Ферма указывает на то, что древнегреческие ученые не обладали общими методами решения геометрических задач. Каждая задача трактовалась по-своему, независимо от других родственных с нею задач.

Отсутствие единого подхода к решению геометрических задач, отсутствие символики приводило к повторам одного и того же, и делало невозможным рационально классифицировать разрозненные задачи и обозревать их сущность с более широкой точки зрения.

Ферма поставил целью установить общий подход к исследованию геометрических задач.

Он с самого начала утверждал, что всякое уравнение между двумя неизвестными представляет собой геометрическое место, описываемое концом одной из неизвестных. Его неизвестные, то есть переменные, являются отрезками.

На прямой N Z (наша ось абсцисс), обозначаемой A (наш x), Ферма отмечает начальную точку N , затем при точке Z строит угол N ZI (обычно прямой) и откладывает отрезок ZI (ординату), обозначаемую буквой E (наш y) и равный второй неизвестной Конец ординаты I описывает соот-

ветствующее место. Пользуясь подобием треугольников, Ферма доказывает, что прямая, имеющая (в современной записи) вид

ax = by

проходит через начало N . Он приводит к такому же виду и общее урав-

нение прямой. После этого он переходит к изучению конических сечений. В его работе имеется уравнение окружности (x2 + y2 = a2), равнобочной гиперболы (xy = k2), эллипса и гиперболы (x2 ± a2y2 = b2).

Такая простая идея измерения абсцисс на некоторой фиксированной прямой и определения точек любой кривой посредством их расстояния от некоторой фиксированной точки нам кажется тривиальной, но впервые она пришла в голову только П. Ферма и Р. Декарту.

Одним из недостатков труда Ферма была ограниченность его системы координат. Во-первых, фиксированной считалась только ось абсцисс N Z.

73

Ось ординат по существу отсутствует, она как бы подразумевается. Вовторых, x и y по-прежнему принимают лишь положительные значения.

Фактически вся система координат состояла из одного первого квадранта. В 1637 году была впервые опубликована на французском языке книга Рене Декарта (1596-1650) "Геометрия", в которой также появляется идея введения координат на плоскости. Причем также как и у Ферма Декарт вводит только одну ось абсцисс с начальной точкой на ней. Тем не менее аналитическая геометрия как наука развивалась именно под влиянием книги Декарта, а не под влиянием "Введения"Ферма, появившегося в печати лишь в 1679 году. Джон Валлис впервые ввел отрицательные абсциссы, ко-

торые он применил наряду с отрицательными ординатами.

Метод координат с трудом пробивал себе дорогу. Некоторые из продолжателей Декарта хотя и рисовали вторую ось, но фактически ее не применяли.

Существенным толчком для развития координатной геометрии на плоскости был небольшой труд Ньютона "Перечисление кривых второго третьего порядка"(1706) и книга Дж. Стирлинга (1692 - 1770) - шотландского математика "Ньютновы кривые третьего порядка". В этих книгах рисовались уже две оси и квадранты, хотя ось Oy, еще была не равноправной по сравнению с осью Ox. Лишь в 1750 году Габриэль Крамер (1704 - 1752) -

швейцарский математик, ввел впервые равноправные оси координат и четко пользовался понятием двух координат для точки на плоскости. Развитие метода аналитической геометрии имеется во втором томе книги Леонарда Эйлера (1707 - 1783) (который родился в Швейцарии) "Введение в анализ", изданной в 1748 году. Близкие же к современным обозначения имеются впервые у C. Лакруа в книге "Элементарный курс прямолинейной и сферической тригонометрии приложений алгебры к геометрии", который переиздавался с 1798 года на пртяжении целого столетия.

74

.

75