Истороия

Эти формулы встречаются у Диофанта, но, по-видимому, были известны значительно раньше.

Нам неизвестно умели ли пифагорейцы доказывать "теорему Пифагора". Скорее всего, нет, но они сознавали необходимость доказательства. Помимо целых чисел, пифагорейцы изучали их отношения и создали теорию пропорций. Среди пропорций они выделяли "самые красивые", в частности, муыкальную пропорцию:

		p/a = h/q,
	где p, q два числа и a = p+q	- среднее арифметическое, h =	2pq	- среднее
			p+q
	2

гармоническое. Музыка в Греции составляла часть теории чисел. Гармонические созвучия по Пифагору соответствуют отношениям, выраженным с помощью целых чисел, и чем отношение проще, то есть чем меньше его числовое значение, тем прекрасней созвучие. Пифагорейцы открыли существование иррационального числа. Они поняли, что диагональ квадрата не выражается отношением двух целых чисел. Это привело к крушению пифагорейской идеи о представимости мира с помощью целых чисел. Это был первый кризис в истории математики. По легенде открыл несоизмеримые соотношения Гипазий из Метапонта в V веке до н.э. во время, когда пифагорейцы находились

вплавании в открытом море. За что Гиппазий был выкинут за борт.

Сименем Пифагора связано систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учение о подобии.

Следует также отметить, что Пифагор считал землю шаром, который движется вокруг Солнца. В 16 веке н.э. церковь преследовала учение Коперника, именуя его пифагорейским.

4.6 Элейская школа 1. Понятие бесконечности, связанное с открытием иррациональных чисел. Школа Зенона Элейского. 2. Континуалиститическая и атомистская концепции. 3. Парадоксы. "Ахиллес и черепаха", "Дихотомия"и "Стрела".

Открытие несоизмеримых отрезков и иррациональных чисел привело математику к понятию бесконечности. Грекам пришлось оперировать с бесконечными множествами, так же как с конечными величинами. Проблеме бесконечности посвящены работы школы Зенона Элейского (вторая половина V в. до н.э.). В поисках общей единицы измерения для всех величин греческие

41

геометры должны были рассматривать бесконечно делимые величины. Но идея бесконечности приводила их в глубокое смятение. Затруднения перед определением абстрактных понятий бесконечного и дискретного отчетливо проявились в парадоксах (апориях) Зенона Элейского. В эпоху Зенона произошло столкновение двух концепций: континуалиститической и атомистской .

Континуалистическая концепция трактовала число, пространство, время и материю, как бесконечно делимые.

Атомистская концепция исходила из существования неделимых первичных элементов.

Зенон Элейский предложил вниманию математиков около сорока парадоксов, которые показывали противоречивость (с его точки зрения) обеих трактовок понятия числа. До нас дошли 9 парадоксов. Наиболее известные из них "Ахиллес и черепаха", "Дихотомия"и "Стрела".

Ахиллес и черепаха

Ахиллес и черепаха движутся в одном направлении по прямой. Чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен достигнуть точки A1, из которой черепаха начала движение. Когда Ахиллес попадет в точку A1, черепаха уже будет в точке A2, когда Ахиллес попадет в точку A2, черепах передвинется в точку A3, и т.д. Таким образом, если пространство бесконечно делимо,

то Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Этот парадокс построен на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине.

Дихотомия (деление пополам)

Тело, начавшее движение в точке A, никогда не достигнет конечного пункта B. Действительно, телу надо вначале преодолеть половину пути,

затем половину оставшейся половины, то есть одну четверть пути, затем половину оставшейся четверти, то есть одну восьмую пути и т.д.

В этом парадоксе. Зенон мысленно строит ряд

1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + (1/2)4 + . . .

сумма которого равна единице. Но ему не удается интуитивно постичь содержание этого понятия. Заметим, что здесь все не так просто. Эти парадоксы привлекали внимание математиков вплоть до Д. Гильберта и Г. Вейля, а

42

также многочисленных философов. Д. Гильберт и П. Бернайс в книге "Основания математики"пишут:

Представим себе машину, которая выполняла бы за 1/2 минуты первую операцию, за 1/4 минуты - вторую операцию , за 1/8 третью операцию и т.д. Такая машина могла бы за первую минуту пересчитать натуральный ряд чисел (записать счетное число единиц). Понятно, что создать такую машину невозможно.

Стрела

В некоторый момент времени своего полета стрела находится в некоторой точке пространства в неподвижном состоянии. Так как это верно в каждый момент времени, то стрела должна находиться в покое.

Этот парадокс основан на предположении, что пространство и время составлены из неделимых элементов "точек"и "моментов".

Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Что происходит с отношением x/ t при стремлении числителя и знаменателя к нулю? Мы то знаем, что смысл понятию "мгновенная скорость"можно придать, используя понятие предела. Конечно, это понятие нельзя было осознать, признавая, что величины состоят из неделимых элементов.

4.7 Софисты. 1. Наивысший расцвет Афин. Укрепление демократии под руководством Перикла. 2. Появление агоры. 3. Школа софистов. 4. Три знаменитые задачи древности.

Победа афинян над персами положила конец греко-персидским войнам (500478 г. до н.э.). После этого могущество Афин укрепилось, достигнув наивысшего культурного и экономического расцвета. Укрепилась демократия под руководством Перикла, которая стимулировала развитие всех человеческих знаний. Одним из достояний демократии стало появление агоры. Агора - это народное собрание, а также площадь, где оно происходило; по сторонам площади находились храмы, государственные учреждения и портики с торговыми лавками. На площади происходили публичные дискуссии, на которых высказывались противоположные точки зрения и полемика становилась народным достоянием.

Первая крупная афинская школа - это школа софистов, профессиональных странствующих учителей. Преподавание было их работой, которая давала им средства для существования. Они вовлекали сограждан в словесные

43

дискуссии и учили их обосновывать свою точку зрения. Софисты добились большого влияния в обществе и это не всем нравилось. В дальнейшем Платон и Аристотель критиковали их за бессмысленные (с их точки зрения) дискуссии. А великого Сократа, как мы узнаем вскоре, тогдашние власти осудили на смерть. Основное внимание софистов относилось к трем знаменитым задачам древности:

квадратура круга - построение квадрата равновеликого данному кругу; удвоение куба - построение куба, объем которого вдвое больше объема дан-

ного куба; трисекция угла - деление угла или дуги на три равновеликие части.

История квадратуры круга насчитывает четыре тысячелетия. Проблема квадратуры круга сводится к построению отрезка, длина которого равнялась бы длине окружности. Это было показано еще Архимедом, где он дал

оценку числа π: 3 1071 < π < 3 17 , то есть 3, 1408 < π < 3, 1429. В наше время число π вычислено с точностью до миллиона знаков. Долгое время в каче-

стве приближенного значения числа π использовали число 227 , в V-м веке в Китае было найдено приближение 355113 = 3, 1415929.... Заметим, что первые точные восемь знаков числа π таковы 3, 1415926. В Европе китайское приближение было переоткрыто лишь в XVI в.н.э. Следует отметить, что вычислению числа посвящали время такие ученые как Ф. Виет (1579) (9 знаков после запятой, Лудольф Ван Цейлен (1596) (32 знака после запятой). Метод вычисления числа π восходил к Архимеду. Он состоял в вписывании и описывании правильных многоугольников в заданную окружность. Ясно, что стимулом к вычислению было выяснение является ли число π рациональном или иррациональным. Лишь в 1767 году немецкий математик И. Г. доказал, что число π иррационально, а затем в 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что и означало неразрешимость задачи квадратуры круга. Трансцендентность числа означает, что оно не является корнем алгебраического уравнения с рациональными коэффициетнтами.

Задача об удвоении куба, то есть построение куба с неизвестным ребром x и имеющего объем вдвое больше заданного сводится к решению кубического уравнения x3 = 2a3. Таким образом, задача сводится к построению отрезка 21/3a. Эта задача была чрезвычайно популярной, о чем говорит дошедшая до нас легенда.

На острове Делос вспыхнула Чума. Чтобы избавиться от бедствия, Ап-

44

полон устами делосского оракула приказал удвоить объем стоящего перед ним кубического жертвенника Так жители Делоса оказались перед проблемой удвоения куба.

Многочисленные попытки решить эту задачу с помощью вычислений в поле рациональных чисел или средствами геометрической алгебры оказались неудачными.

Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ Хиосский (середина V в до н.э). Он свел эту задачу к нахождению абсциссы точки пересечения двух парабол x2 = ay и y2 = 2ax.

Вместе с развитием алгебры постановка задачи приобрела алгебраическую форму: может ли операция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к конечному числу извлечений квадратного корня? Сомнение в возможности такого решения задачи высказал в 1637 году Декарт.

В 1837 году Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью циркуля и линейки отрезок в x1/3 раз больший данного. Ванцель доказал, что кубические иррациональности не принадлежат ни полю рациональных чисел, ни его расширению посредством присоединения квадратических иррациональностей.

Задача трисекции угла сводится к решению кубического уравнения. Известно равенство cosϕ = 4cos3ϕ/3 − 3cos ϕ/3. Таким образом задача трисекции угла сводится к решению кубического уравнения 4x3 − 3x = a.

Трисекция угла также имела длинную историю. Сведение ее к кубическому уравнению было осознано только в IX-X вв. н. э. Строгое доказательство невозможности точной трисекции угла циркулем и линейкой есть простое следствие из упомянутого выше результата Ванцеля.

Пытаясь разделить на три равные части данный угол Гиппий из Эллиды (около 460 г. до н. э.), который был софистом и современником Сократа, изобрел новую кривую квадратриссу, которую невозможно построить с помощью линейки и циркуля.

4.8Платоновская академия.

Платон (427 - 347 гг до н.э.) был учеником Сократа и жил в период упадка Афин. Город был ослаблен Пелопонесской войной и другими войнами с греческими городами. Автономии Афин угрожал царь Филипп Македонский, и

45

демократия переживала кризис.

Платон хотел спасти Афины обучением философии и проповедью добродетели. Около 377 г до н.э. он организовал философскую школу, которая получила название академии. Эта школа в течение целого века руководила всей интеллектуальной жизнью города.

Она просуществовала до 529 года нашей эры. Закрыл ее христианский император Юстиниан, который счел невозможным терпеть ее языческие идеи.

Предназначенная для обучения и для философских научных исследований, академия в основном была организована как учебное заведение. Но она также располагала жилыми помещениями и местом для прогулок. Платон не был сам математиком, но уделял математике важное место в своей воспитательной системе и поощрял ее изучение. В его трудах есть несколько математических мест, касающихся теории чисел, стереометрии и космических фигур, так называемых платоновых тел - правильных многогранников.

Существует всего пять видов правильных многогранников (выпуклых многогранников, ограниченных равными правильными многоугольниками, и имеющих правильные многогранные углы):

тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр (двенадцатигранник), и икосаэдр (двадцатигранник).

В идеалистической картине мира четыре первых из них олицетворяли четыре стихии, тетраэдр - огонь, куб - землю, икосаэдр - воду, и октаэдр - воздух. Додекаэдр символизировал все мироздание (quinta-essentia - пятая сущность).

Но главное значение Платона для математики состоит в том, что именно в его школе зародились идеи абстрагирования математики от конкретных задач и появились первые элементы геометрии как дедуктивной науки.

4.9Аристотель.

Аристотель (384 -322 гг. до н.э.) - самый известный ученик Платона. В 344 году Аристотель создал свою школу в Афинах.

Аристотель был хорошо знаком с математикой своего времени. Он как и Платон интересовался, в основном, ее природой и ее связью с реальным миром.

По своим воззрениям он был большим материалистом, чем Платон. Пла-

46

тон относил математические объекты полностью к области идей, а Аристотель ограничивался выделением из них универсальных сущностей - числа и геометрической формы. Математика изучает эти абстракции, выведенные непосредственно из свойств физических тел, и Аристотель разъясняет основные понятия, необходимые для такого изучения. Он различает между собой определения, аксиомы, гипотезы и т.п. Аристотель поднимает вопрос о существовании определяемых объектов.

Приведем несколько высказываний Аристотеля.

Всякое обучение и всякое основанное на размышлении учение исходит из ранее имеющегося знания.

Иметь предварительное знание необходимо двояко, а именно: в одних случаях необходимо заранее принять, что это есть, в других следует уразуметь, что именно есть то, о чем идет речь, иногда же необходимо и то другое.

Из непосредственных силлогических начал тезисом называю то, которое нельзя доказать и которое тому, кто будет что-то изучать, не обязательно иметь. То (начало), которое необходимо иметь каждому, кто будет что-то изучать, я называю аксиомой. Некоторые такие начала, конечно, имеются, и главным образом, их мы обычно так и называем.

Тезис, который принимает ту или другую часть противоречия (я имею в виду, например, "нечто есть"или "нечто не есть"), есть предложение, без этого же - определение.

По Аристотелю определение не гарантирует существование рассматриваемого объекта. Можно определить многогранник с десятью гранями и вывести его свойства, даже если такой фигуры не существует.

Для Аристотеля существование математического объекта установлено, если удается его построить.

Знать - это установить при помощи доказательства - писал Аристотель. Таким образом, обладать знанием - это уже не созер-

цать, как у Платона, а провести рассуждение, способное объяснить.

Это рассуждение должно подчиняться некоторым правилам, установленным Аристотелем, который стал тем самым основоположником логики.

Аристотель упорядочил и систематизировал знания, и одновременно заложил основы разделения науки на отдельные дисциплины.

В своем труде "Физика"Аристотель размышлял о бесконечности. Понятие

47

бесконечности не было определено корректно. Поэтому Аристотель явочным порядком говорил о проявлении бесконечности. Так он говорил, что положительные целые числа имеют бесконечную мощность по отношению к сложению (прибавляя единицу к числу мы получаем новое число и этот процесс неопределенно долог (бесконечен). Геометрическая величина - линия, поверхность или тело бесконечна по отношению к делению. Время обладает тем же свойством. Но "точки"и "моменты"уже не являются самыми мелкими элементами, составляющими линию или время, как это было в учении пифагорейцев. Точка у них мыслилась неделимой и, следовательно, множество точек не могло образовывать непрерывную и делимую линию. Как и числа, точки являются дискретными величинами, отличными от непрерывных величин геометрии.

4.10Эвклид.

В III в. до н.э. наступил упадок городов Полисов, но к этому времени математика превратилась в абстрактную науку, независимую от философии и религии. В школах Пифагора, Платона, Демокрита, Евдокса и Аристотеля геометрия обогатилась обилием фактического материала и, что не менее важно, методами исследования (анализ, синтез, доказательство от противного и др.). Можно сказать, что основной материал современного школьного курса геометрии был создан в этих школах. В результате к третьему веку до н.э. геометрия стала наукой характеризуемой высокой степенью абстрактности, стала дедуктивной и доказательной. Именно на этих принципах построены "Начала геометрии"Эвклида. Назрела необходимость систематизации накопленных знаний - приведения их в стройную логическую систему.

Таким трудом явилось великое произведение древнегреческой мысли - "Начала"Эвклида, состоящие из тринадцати книг (известно, что XIV и XV книги являются более поздними дополнениями).

Следует отметить, что до сих пор неизвестно являются ли первые тринадцать книг созданием одного человека или школы, руководимой Эвклидом. Эвклид жил около 330 - 275 гг. до н.э. Он был питомец школы Платона и преподавал математику в Александрии при Птолемее I.

Птолемей I организовал в Александрии Мусейон - дом муз, в который приезжали виднейшие ученые того времени. Молодежь стекалась из многих

48

стран слушать в Александрии лекции по философии математике, астрономии, медицине. В Мусейоне была огромная библиотека, содержащая копии многих греческих произведений, начиная от Гомера. В отличие от Афинских частных школ (Академия Платона, Ликей Аристотеля и др.) Мусейон субсидировался государством, и ученые не заботясь о насущных нуждах, могли целиком посвящать себя наукам.

Особенность математики наступившей эпохи состояла в том, что ее методы использовались не только в астрономии, но и в статике, гидростатике, в оптике и теории музыки.

Об Эвклиде известно очень мало сведений. Александрийский математик Папп, который написал в III в. восемь книг по математике, сообщал, что Эвклид был доброжелателен, корректен, лишен тщеславия. До нас дошли две истории, характеризующие отношение Эвклида к математике.

Первая история касается ответа на вопрос царя Птолемея I о том, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем преодоление "Начал". Эвклид ответил:

В геометрии нет царской дороги.

Вторая история касается студента, который задал вечный вопрос: ¾Что я выиграю от изучения математики?¿ Евклид назвал его рабом и сказал:

Дайте ему монету, если он должен извлечь барыш из того, что он изучает.

Ни одна научная книга не пользовалась таким прочным и длительным успехом как "Начала" Эвклида. C 1482 года она выдержала более 500 изданий на всех языках мира.

В России первый перевод 8 книг начал Эвклида был сделан Сатаровым в 1739 году. Затем были сделаны еще несколько переводов различных авторов, а наиболее полный перевод начал Эвклида был сделан Дмитрием Дмитриевичем МордухайБолтовским (1876 -1952).

Первые четыре книги посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей. В "Началах"Эвклид затрагивает лишь те задачи, решения которых строятся при помощи циркуля и линейки, материальных воплощений окружности и прямой.

Книге первой предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, так как определены в терминах физической реальности. В основу изложения "Начал" Эвклид положил опре-

49

деления, аксиомы и постулаты. Определения носят интуитивный характер, так как определены в терминах физической реальности.

Точка есть, то что не имеет частей; Линия же длина без ширины;

Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней;

Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину...

За этими определениями следуют пять постулатов: Допустим:

1)что от всякой точки и до всякой точки можно провести прямую линию;

2)и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по пря-

мой;

3)и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан

круг;

4)и что все прямые углы равны между собой;

5)и если прямая падающая на две прямые образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых (см. рис.).

Указав, как мы сейчас говорим, аксиоматику - систему определений, аксиом и постулатов, - Эвклид переходит к изложению геометрического материала.

Отметим, что в наших школьных руководствах по геометрии V-ый постулат Эвклида заменен так называемой аксиомой о параллельных, которая гласит:

Через точку C, лежащую вне прямой AB в плоскости ABC проходит только одна прямая CD, не пересекающая (параллельная) с AB.

Эта аксиома называется аксиомой Плейфера, по имени шотландского математика Джона Плейфера (1748-1819), который впервые ввел ее в основания

50