1.5. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом

Воздействие сигналов импульсной формы на элементы электронной цепи принципиально вызывает необходимость расчета не только установившихся электромагнитных процессов в цепи, но и свойственных любому динамическому объекту переходных режимов.

Параметры переходного процесса определяются в результате решения системы дифференциальных уравнений, отражающих присутствие в цепи реактивных элементов.

Эффективным методом решения дифференциальных уравнений является операторный, основанный на представлении временных функций с помощью преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа исходит из прямого преобразования Фурье, в котором комплексный оператор jзаменяется операторомp =+j, носящим название комплексной частоты. Использование его позволяет перейти от решения системы дифференциальных уравнений к решению более простой системы алгебраических уравнений.

Пусть некоторая функция f(t) определена приt0 и тождественно равна нулю приt0. Для нее преобразование Лапласа записывается в следующем виде:

. (1.22)

Функцию f(t) называют оригиналом, а функциюF(p) – ее изображением.

Зная изображение функции, можно восстановить ее оригинал с помощью обратного преобразования Лапласа, схожего с обратным преобразованием Фурье:

. (1.23)

Решение последнего уравнения детально исследуется в теории функций комплексного переменного и может быть получено во многих случаях с помощью следующего алгоритма, называемого теоремой разложения.

Смысл ее состоит в следующем. Пусть изображение искомой функции имеет вид

, (1.24)

где А(p),B(p) – полиномы комплексной переменнойpстепенейmиn, причемmn:

A (p)=a_m p^m+ a_{m –1} p^{m –1} + a_{m – 2} p^{m –2} +….. a₀, (1.25)

B (p)=b_n pⁿ+ b_{n –1} p^n–1 + a_{n – 2} p^{n –2} +….. b₀. (1.26)

Предполагается также, что коэффициенты a,b– действительные числа и полиномыA(p),B(p) не имеют общих корней.

Вынося коэффициент b_nпри старшей степениpполиномаB(p), представим новый полиномB₁(p) в виде произведения простых сомножителей:

, (1.27)

где p₁,p₂,…p_q– корни характеристического уравненияB₁(p) = 0;

s₁,s₂,….s_q – числа, определяющие кратность корней полиномаB₁(p).

Следующим шагом является разложение функции F(p) на простые составляющие по формуле:

, (1.28)

в которой коэффициенты K_kiрассчитываются по следующему соотношению:

. (1.29)

Поясним сказанное на примере функции

.

Здесь постоянный множитель b_nравен единице, следовательно, знаменатель дроби совпадает с полиномомB₁(p) и имеет три корня:p₁= 0cкратностью один,p₂ = –2cкратностью два иp₃ = –4cкратностью один.

Далее поступаем следующим образом.

1. Записываем исходную функцию в виде суммы простых дробей:

.

2. По формуле (1.29) находим коэффициенты:

,

,

,

.

Для нахождения оригиналов полученных выражений обратимся к табл. 1 соответствия между ними и их изображениями для часто встречающихся временных функций.

Воспользовавшись данными 2, 3 и 9 строчек, запишем уравнение искомой функции времени:

.

Таблица 1

Функция времени	Преобразованная функция
1. (t)	1
2. (t)
3.
4. 1–
5. cos t
6. sin t
7. kt
8. t^n
9.
10.
11.

(В соотношениях 10, 11 через s(0) и(0) обозначены соответственно начальные значения функции и ее интеграла.)

Перейдем теперь непосредственно к процедуре анализа переходного процесса. Для этого представим электронную цепь в виде устройства (рис. 1.2), обладающего некоторым комплексным коэффициентом передачи

.

Рис. 1.2

Записав его в операторной форме, получим операторное выражение выходного напряжения:

. (1.30)

(Отметим, что записанный в операторной форме комплексный коэффициент передачи называется передаточной функцией.) Оригинал функции u_вых(p), найденный с помощью обратного преобразования Лапласа, и будет представлять зависимостьu_вых(t).

Особое значение при анализе передаточных свойств электронной цепи имеет переходная характеристика, под которой понимается отклик цепи на входной сигнал, представляющий собой функцию единичного скачка (t). С помощью переходных характеристик обычно рассчитывают определяющие параметры переходного процесса и устанавливают их связь с параметрами элементов цепи.