2.2. Дифференцирующая rc-цепь

Эта цепь, изображенная на рис. 2.5, представляет также последовательное соединение конденсатора и резистора. Только здесь выходное напряжение снимается с резистора, а не с конденсатора, как в предыдущем случае; т. е. оно пропорционально току, который связан с напряжением на конденсаторе соотношением:

. (2.26)

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Если выбрать величины элементов схемы таким образом, что U_вх >>U_C, то общий ток цепи сделается приблизительно равным

. (2.27)

А это, в свою очередь, означает, что выходное напряжение оказывается пропорциональным производной входного сигнала, что и определяет название цепи. Применительно к гармоническому входному сигналу условие дифференцирования означает обеспечение неравенства

, или RC << 1. (2.28)

Если же входной сигнал представляет более сложную функцию, то для операции дифференцирования необходимо выполнить условие дифференцирования для гармоники самой низкой частоты, входящей в состав спектра входного сигнала.

Обратимся теперь непосредственно к анализу переходного процесса в рассматриваемой цепи для ряда входных сигналов.

а) Входной сигнал – скачок напряжения А(t), где (t) – функция включения

Передаточная функция цепи определяется отношением сопротивления Rк входному сопротивлению и имеет следующий вид:

. (2.29)

При подаче импульсного перепада с амплитудой Авыходной сигнал в соответствии с табл. 1 (позиция 2) будет изменяться по закону затухающей экспоненты:

, (2.30)

принимая максимальное значение при t = 0, как это показано на рис. 2.7. Для определения переходной характеристикиh(t) цепиcледует в уравнении (2.30) положить значениеА = 1.

В некоторый произвольный момент времени t_ивыходное напряжение уменьшится на величинуU_вых, равную:

. (2.31)

Отношением принято характеризовать степень искажения переходной характеристики рассматриваемой цепи, что приRC >>t_идает следующий результат:

. (2.32)

Полезно вспомнить, что для этого вида RC-цепи существует параметр – низшая граничная частота_н = 1/RC, на которой модуль комплексного коэффициента уменьшается враз по сравнению с его максимальным значением на частоте= 0. Легко убедиться в справедливости равенства:

, (2.33)

что еще раз подчеркивает взаимную связь частотных и временных параметров.

С уменьшением значения постоянной времени цепи =RCcкорость спада выходного напряжения увеличивается и оно приобретает форму затухающего импульсного скачка конечной длительности. Рассмотрим этот процесс при подаче на вход цепи последовательности прямоугольных импульсов.

б) Входной сигнал – последовательность прямоугольных импульсов конечной длительности

По мере поступления входных импульсов происходит постепенное изменение начальных условий заряда и разряда конденсатора, следствием чего является режим, при котором на выходе цепи будет отсутствовать постоянная составляющая входного напряжения, а уровни выходного напряжения в начале и конце периода принимают одинаковое значение. Графики выходного напряжения для этого режима при различных соотношениях между длительностью импульса и постоянной времени приведены на рис. 2.7.

Здесь видно, что при больших значениях RCформа выходных импульсов незначительно отличается от формы входных, и это дает право считать условиеRC >>t_иусловием неискаженной передачи импульса через разделительнуюRC-цепь (эта цепь часто используется для того, чтобы постоянная составляющая источника входного сигнала не проходила в нагрузку). УсловиеRC <<t_иобеспечивает существенное укорочение длительности выходного импульса, принимает значениеt₀ 3RC.

Подобное преобразование (или формирование) как раз и отражает важное свойство цепи – способность при определенных условиях реализовать операцию дифференцирования подаваемого на ее вход сигнала.

Рис. 2.7

Следует остановиться на двух основных факторах, влияющих на свойства рассматриваемой укорачивающей цепи. В реальной цепи (рис. 2.8) всегда присутствуют внутреннее сопротивление источника входного сигналаR_ги емкость нагрузкиС_н. Если имеется только внутреннее сопротивлениеR_г, то это приведет к уменьшению амплитуды импульсного перепада на выходе и увеличению его длительности, поскольку возрастает постоянная времени цепи. Наличие же еще емкости нагрузки помимо влияния на амплитуду выходного импульса и его длительность затягивает фронт нарастания импульса. В результате форма импульса делается колоколообразной, как это показано на рис. 2.7 пунктиром.