Контрольные вопросы

1. Дайте определение импульсного сигнала

2. Назовите основные параметры импульсного сигнала

3. Дайте определение функции включения и импульсной функции

4. Как с помощью названных выше функций записать аналитическое выражение для сложного сигнала?

5. Что такое тригонометрический ряд Фурье? Как находятся коэффициенты ряда Фурье?

6. Как находится комплексная амплитуда ряда Фурье?

7. В чем особенности спектрального представления непериодического сигнала?

8. Поясните физический смысл спектральной плотности сигнала и метод ее нахождения (прямое преобразование Фурье)

9. Как находится временная функция по известной функции спектральной плотности? (Обратное преобразование Фурье)

10. Дайте определение преобразования Лапласа

11. Поясните методику нахождения коэффициентов в разложении на простые дроби функции, преобразованной по Лапласу.

12. Поясните методику расчета переходного процесса в электрической цепи методом Лапласа.

2. Переходные процессы в rc-цепях первого порядка2, 4, 5, 6

2.1. Интегрирующая цепь

Эта простая цепь, представляющая собой последовательное соединение конденсатора Си резистораR, изображена на рис. 2.1. Название цепи поясним ниже, а вначале рассмотрим электрические процессы в ней, и проведем их анализ.

Рис. 2.1

Входной сигнал U_вх поступает через резисторRна конденсаторС. В цепи протекает общий токI_C=I_R, величина которого определяется суммарным комплексным сопротивлениемZ=R+

.

Записанное в операторной форме выходное напряжение примет вид

, (2.1)

где (2.2)

– передаточная функция цепи.

Рассмотрим работу схемы при ряде типовых входных воздействий.

а) Входной сигнал – скачок напряжения А(t), где(t) – функция включения

Обращаясь к формуле (2.1) и подставляя в нее операторные выражения входного сигнала и передаточной функции, получим операторное уравнение для выходного напряжения:

. (2.3)

Полученному изображению соответствует оригинал (позиция 3 в табл. 1):

. (2.4)

Зависимость выходного напряжения от времени (рис. 2.2) при А=1 и есть переходная характеристика рассматриваемой цепи:

, (2.5)

Рис. 2.2

представляющая собой экспоненциально нарастающую кривую, начинающуюся от нулевого начального значения и стремящуюся к установившемуся значению А, время нарастания переднего фронтаt_фпопределяется величиной

t_фп=2.2 RC=2.2 τ , (2.6)

где произведение – постоянная времени цепи.

Напомним, что цепь подобного вида определялась ранее с точки зрения частотных свойств как фильтр низших частот и характеризовалась значением верхней граничной частоты:

. (2.7)

Сопоставив два последних соотношения, получим полезный для практики результат, устанавливающий связь между частотными и временными искажениями:

. (2.8)

Чем больше постоянная времени RC, т. е. меньше полоса пропускания цепи, тем медленнее изменяется выходное напряжение на емкости в процессе достижения своего установившегося значения.

б) Входной сигнал – одиночный импульс конечной длительности

График выходного напряжения для этого случая показан на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Как и в предыдущем случае, с момента подачи входного импульса начинается заряд конденсатора и на выходе формируется выходное напряжение по уравнению (2.5).

Так как длительность импульса t_иконечна, то необходимо рассмотреть следующие ситуации.

1. Постоянная времени цепи много меньше длительности импульса t_и

С момента подачи входного перепада напряжения начинается переходной процесс, и выходное напряжение успевает достигнуть своего максимального значения за время t_фп = 2.2RC, которое сохраняется до окончания импульса в моментt₃.

Поскольку напряжение на емкости не может изменяться скачком, а начальное напряжение на емкости равно U_C0 =А, приtt₃ выходное напряжение в операторной форме определится из уравнения:

,

где L–cимвол прямого преобразования Лапласа.

Решая уравнение, получаем изображение выходного напряжения, а затем и его оригинал:

, (2.9)

. (2.10)

Из последнего уравнения найдем время, за которое выходное напряжение изменяется в пределах от 0.9 до 0.1 своего максимального значения. Это время определяет длительность заднего фронта выходного импульса t_фз:

t_фз = 2.2RC. (2.11)

2. Постоянная времени равна длительности импульса t_и

Основная особенность работы рассматриваемой цепи при RC =t_bсостоит в том, что выходное напряжение к моментуt =t_ине достигает максимального значения, а составляет только его часть, а именно, как следует из (2.5),

, (2.12)

т. е. приблизительно 2/3 от максимального значения (заметим, что это значение часто используется при экспериментальном определении постоянной времени). Поэтому понятие фронта нарастания выходного импульса здесь обычно не используется.

Длительность заднего фронта выходного импульса рассчитывается по формуле (2.11) и по существу определяет время установления Т_устначального состояния в цепи.

3. Постоянная времени много больше длительности импульсаt_и

Обратимся к формуле (2.5), представив в ней экспоненциальную функцию в виде ряда:

. (2.13)

Поскольку =RC >>t_и, ограничимся в приведенном соотношении только членами первого и второго порядка и запишем:

. (2.14)

Первая составляющая этого равенства представляет собой линейную функцию, т. е. интеграл от входного перепада с амплитудой А, достигающий максимального значения в моментt =t_и:

. (2.15)

Оценим погрешность интегрирования рассматриваемого одиночного импульса, понимая под ней относительную разницу значений идеального интеграла (2.15) и интеграла, вычисленного по формуле (2.14) в момент t_и:

. (2.16)

Чем больше постоянная времени цепи по отношению к длительности импульса, тем заметнее проявляются интегрирующие свойства цепи рис. 2.1.

К трактовке полученных результатов можно подойти и с более общих позиций. Напомним, что напряжение на емкости и ток через нее связаны интегральным соотношением:

. (2.17)

Поэтому для реализации процедуры интегрирования необходимо создать условия, при которых ток через конденсатор будет пропорционален значению интегрируемого сигнала.

Положим, что в рассматриваемой цепи на входе действует сигнал произвольной формы, который можно представить в виде гармонического ряда Фурье с частотой низшей гармоники ₁. При выполнении неравенства₁RC << 1 ток через конденсатор будет практически определяться только сопротивлением резистораR, что позволяет записать:

(2.18)

и обосновать тем самым термин «интегрирующее звено».

Рассматривая переходной процесс после окончания входного импульса, нетрудно увидеть, что он подчиняется уравнению (2.10), имеет затяжной характер, длительность которого оценивается обычно величиной T_уст. = 3…5RC.

в) Входной сигнал – последовательность прямоугольных импульсов конечной длительности

Диаграммы входного и выходного напряжений при различных соотношениях между длительностью входных импульсов и постоянной времени RC показаны на рис. 2.4. ПриRC<<t_исигналы на входе и выходе различаются незначительно, фронты нарастания и спада рассчитываются по формулам (2.6), (2.11).

По мере уменьшения отношения длительности фронтов делаются соизмеримыми с длительностью импульса и с каждым периодом входного напряжения создаются новые начальные условия, определяющие процесс установления выходного напряжения, как это показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4

Найдем закон изменения выходного напряжения в установившемся режиме, приняв за критерий установившегося режима равенство начальных условий в начале и конце периода повторения входного сигнала Т. Для удобства анализа перенесем начало отсчета в точку, соответствующую начальному напряжению на конденсатореU₁. С учетом начальных условий (напряжениеU₁ иU₂) получим следующие уравнения:

при 0 tt_и, (2.19)

при t_и tT–t_и. (2.20)

В моменты времени t_ии (Т –t_и) соответственно напряженияu_вых1 иu_вых2 принимают значенияU₁ иU₂. Поэтому:

, (2.21)

. (2.22)

Решив эти уравнения относительно значений U₁ иU₂, получим:

, (2.23)

. (2.24)

Если период Твходной последовательности импульсов мал по сравнению с постоянной времени, то приведенные выше соотношения приводятся к одинаковому результату:

, (2.25)

представляющему собой значение среднего значения входного напряжения.

Выходное напряжение при этом приобретает достаточно сглаженный вид, подчеркивая тем самым фильтрующие свойства цепи, часто используемые для выделения низкочастотных составляющих спектра входного напряжения.