Окончание таблицы 6.1

1	2	3	4	5
8	2 3 4 5 6 7 8	(x^8+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+x^6+x^5+x^4+x^2 +x+1) (x^8+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+x^6+x^5+x^4+x^2 +x+1)(x^8+x^7+x^6+x^5+ +x^4+x+1) (x^8+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+x^6+x^5+x^4+x^2 +x+1)(x^8+x^7+x^6+x^5+ +x^4+x+1)(x^8+x^6+x^5+x^3+1) (x^8+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+x^6+x^5+x^4+x^2 +x+1)(x^8+x^7+x^6+x^5+ +x^4+x+1)(x^8+x^6+x^5+x^3+1)(x^8+x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1) (x^8+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+x^6+x^5+x^4+x^2 +x+1)(x^8+x^7+x^6+x^5+ +x^4+x+1)(x^8+x^6+x^5+x^3+1)(x^8+x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+ +x^7+x^6+x^5+x^2+x+1) (x^8+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+x^6+x^5+x^4+x^2 +x+1)(x^8+x^7+x^6+x^5+ +x^4+x+1)(x^8+x^6+x^5+x^3+1)(x^8+x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+ +x^7+x^6+x^5+x^2+x+1)(x^8+x^5+x^3+x+1) (x^8+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+x^6+x^5+x^4+x^2 +x+1)(x^8+x^7+x^6+x^5+ +x^4+x+1)(x^8+x^6+x^5+x^3+1)(x^8+x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1)(x^8+ +x^7+x^6+x^5+x^2+x+1)(x^8+x^5+x^3+x+1)(x^8+x^7+x^6+x^4+x^2+ +x+1)	255	16 24 32 40 48 56 64

Синдром ЦИК БЧХ обладает следующим свойством:

S=S_Z, (6.5)

z

где z– номера ошибочных битов;

S_Z– код синдрома при искаженииz-го бита;

причем суммирование осуществляется по модулю 2.

Следует также отметить, синдром ЦИК БЧХ (как и большинства других блочных кодов) может совпадать при искажении некоторого количества и некоторого количестваошибок в блоке, хотя в обоих данных случаях он будет ненулевым. Следовательно, на практике ЦИК БЧХ, как и большинство блочных кодов, рационально применять только для обнаружения ошибок, с их исправлением методом(см. рис. 6.1 и пояснения к нему).

При количестве ошибочных битов в блоке, большем , синдром может оказаться нулевым, т. е. обнаружение ошибок не гарантируется, и требуется ЦИК с большим значением.

Поясним помехоустойчивое кодирование посредством ЦИК БЧХ конкретным примером.

Пусть необходимо сформировать ЦИК БЧХ символов QиWASCII, позволяющие обнаруживать и исправлять в них до 2-х ошибок (при этом под информационное поле выделено7 битов), и вычислить коды синдрома для случаев искажения в каждом из сформированных ЦИК следующих разрядов:

- первого информационного;

- третьего информационного;

- второго контрольного;

- шестого контрольного;

- первого и третьего информационных;

- второго и шестого контрольных;

- второго контрольного и третьего информационного;

- шестого контрольного и первого информационного.

Решение.Из таблицы 6.1 находим, что для построения ЦИК БЧХ с 7 информационными разрядами и значением е, равным 2, необходимо, чтобы общая разрядность блока,n, была равна 15 битам. При этом число контрольных разрядов,m, равно 8, а образующий полином имеет следующий вид:

G(x) = (x⁴ + x + 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) = x⁸ + x⁷ + x⁶ + x⁴ + 1. (6.6)

Информационные поля формируемых ЦИК символов QиWравны соответственно1010001и1010111. Контрольные поля вычисляем, как остатки от деления полиномиальных представлений двоичных чисел101000100000000и101011100000000соответственно на вышеприведенный образующий полином. Получаем, что искомые ЦИК представляют собой двоичные комбинации101000100000011и101011110010110.

Синдромы вычисляем как остатки от деления полиномов, описывающих данные ЦИК при наличии в них соответствующих ошибок, на образующий полином (6.6). Результаты вычисления представлены в таблице 6.2. Нетрудно увидеть, что при одинаковых номерах ошибочных битов в рассматриваемых ЦИК синдромы совпадают; при этом они действительно обладают свойством (6.5).

Таблица 6.2 – Синдромы ЦИК БЧХ символовQиWASCII

Символ	Ошибочные биты	Принятый код	Код синдрома
1	2	3	4
Q	i1 i3 c2 c6 i1 и i3 c2 и c6 i1 и c6 i3 и c2	101000000000011 101010100000011 101000100000001 101000100100011 101010000000011 101000100100001 101000000100011 101010100000001	11010001 11100110 00000010 00100000 00110111 00100010 11110001 11100100

Окончание таблицы 6.2

1	2	3	4
W	i1 i3 c2 c6 i1 и i3 c2 и c6 i1 и c6 i3 и c2	101011010010110 101001110010110 101011110010100 101011110110110 101001010010110 101011110110100 101011010110110 101001110010100	11010001 11100110 00000010 00100000 00110111 00100010 11110001 11100100