Практическое занятие №1 Изучение принципов числового представления информации

Цель занятия: практическое исследование базовых принципов числового представления данных в современных системах связи.

Краткие теоретические сведения

Современные информационные технологии (в том числе технологии передачи данных) базируются на их числовом (цифровом) представлении, независимо от их природы. Такое представление является универсальным.

Алфавитно-цифровая (текстовая)информация представляется специальными числовыми кодами. Их представительным вариантом является ASCII-код, шестнадцатеричные коды стандартных символов которого представлены ниже.

Шестнадцатеричные коды основных стандартных ASCII-символов

Tab( гориз. табуляция ) – 09H;

Enter( возврат каретки ) – 0DН;

Sp ( пробел ) – 20Н;

! - 21H; A - 41H; a - 61H;

“ - 22H; B - 42H; b - 62H;

# - 23H ; C - 43H; c - 63H;

$ - 24H; D - 44H; d - 64H;

% - 25H; E - 45H; e - 65H;

& - 26H; F - 46H; f - 66H;

‘ - 27H; G - 47H; g - 67H;

( - 28H; H - 48H; h - 68H;

) - 29H; I - 49H; i - 69H;

* - 2AH; J - 4AH; j - 6AH;

+ - 2BH; K - 4BH; k - 6BH;

, - 2CH; L - 4CH; l - 6CH;

- - 2DH; M - 4DH; m - 6DH;

. - 2EH; N - 4EH; n - 6EH;

/ - 2FH; O - 4FH; o - 6FH;

0 - 30H; P - 50H; p - 70H;

1 - 31H; Q - 51H; q - 71H;

2 - 32H; R - 52H; r - 72H;

3 - 33H; S - 53H; s - 73H;

4 - 34H; T - 54H; t - 74H;

5 - 35H; U - 55H; u - 75H;

6 - 36H; V - 56H; v - 76H;

7 - 37H; W - 57H; w - 77H;

8 - 38H; X - 58H; x - 78H;

9 - 39H; Y - 59H; y - 79H;

: - 3AH; Z - 5AH; z - 7AH;

; - 3BH; [ - 5BH; { - 7BH;

< - 3CH; \ - 5CH; | - 7CH;

= - 3DH; ] - 5DH; } - 7DH;

> - 3EH; ^ - 5EH; ~ - 7EH.

? - 3FH; _ - 5FH;

@ - 40H; ` - 60H;

Звуковая информация представляется в виде последовательности чисел, представляющих собой равноотстоящие по времени результатыаналого-цифрового преобразования (отсчетов) напряжения, в которое преобразуется исходный звуковой сигнал. При условии, что период отсчетов в два или более раза меньше периода наиболее высокочастотной спектральной составляющей преобразуемого сигнала, он однозначно может быть восстановлен из последовательности отсчетов. Разрядность отсчетов определяется назначением системы передачи данных. Так, в кабельной и мобильной телефонии достаточна разрядность отсчетов, равная 8-ми двоичным разрядам (битам). С другой стороны, для качественной передачи и воспроизведения звукозаписей необходима разрядность 16 битов.

Неподвижные и подвижные изображения представляются в виде массива чисел, представляющих информацию о каждой из точек (пикселей). В общем случае, каждое из данных чисел содержит поля, несущие информацию о координатах пикселя, а также о интенсивности пикселя (для монохромных изображений) или каждой из цветовых составляющих (красной, зеленой и синей) пикселя.

В свою очередь, числовая информация в современных информационных технологиях представляется в двоичной системе счисления.

Система счисления (NUMERATION SYSTEM) − способ представления чисел с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Существуют различные системы счисления. В зависимости от способов изображения чисел цифрами системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. В ЭВМ используются позиционные системы счисления (RADIX NUMERATION SYSTEM), которые характеризуются наглядностью записи чисел и сравнительной простотой арифметических операций. Непозиционные системы счисления в вычислительной техничке не используются из-за своей громоздкости и сложности правил образования.

В непозиционной системе счисления количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ею позиции (места) в изображении числа, а определяется лишь самим символом (цифрой). Например, в непозиционной римской системе счисления число XXX (тридцать) содержит во всех разрядах один и тот же символ X, который означает 10 единиц независимо от его позиции в изображении числа.

В позиционной системе счисления одна и та же цифра имеет различное значение, определяемое позицией этой цифры в последовательности цифр, изображающей число. Основанием (RADIX) позиционной системы счисления называется число S различных цифр, используемых ею для изображения чисел. Эти цифры обычно обозначают S целых чисел: 0, 1, …(s-1).

В общем случае произвольное число в позиционной системе счисления может быть представлено в виде полинома от основания S:

(1.1)

где X_s − число в s-й системе счисления;

s − основание системы счисления;

i − номер разряда (позиции);

n, m − целые положительные числа;

n, (-m) − номера старшего и младшего разрядов;

X_i{0, 1, …, (s-1)} − коэффициенты, целые положительные числа от нуля до s-1, показывающие, сколько единиц i-го разряда содержится в числе.

Краткая запись числа представляется последовательностью цифр

X_S = x_nx_n-1 … x₁x₀ , x_-1 … x_-m. (1.2)

В этой последовательности запятая отделяет целую часть от дробной. Позиции цифр, отсчитываемые от запятой, называются разрядами. В позиционной системе счисления значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию s системы счисления. Для человека привычной является десятичная (s=10) система счисления (DECIMAL NOTATION), в которой алфавит составляет 10 цифр: 0, 1, …, 9.

Для обозначения системы счисления, в которой записано число, рядом с числом будем указывать основание системы счисления. Например, для десятичной (арабской) системы:

X₁₀= 379₁₀ = 3∙10²+7∙10¹+9∙10⁰.

3 7 9

коэффициенты

В связи с тем, что ЭВМ строятся из элементов, имеющих только два устойчивых состояния, для представления чисел в ЭВМ удобно использовать двоичную систему (s=2) (BINARY NOTATION). Алфавит двоичной системы счисления состоит из двух символов: 0 и 1. Например, число в двоичной системе будет изображаться:

X₂= 11010110₂ =1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+1∙2⁴+0∙2³+1∙2²+1∙2¹+0∙2⁰.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы применяются для сокращения длины записи при кодировании программы и плотного размещения данных в памяти машины. В восьмеричной системе (s=8) используются цифры от 0 до 7, с основанием s=16 (шестнадцатеричной) – алфавит из шестнадцати символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Двоично-десятичный код занимает промежуточное положение между десятичной и двоичной записью чисел. В этом коде каждой десятичной цифре числа ставится в соответствие четырехразрядное двоичное число (тетрада). Таким образом, получается двоично-кодированная десятичная система счисления, соединяющая достоинства двоичного представления и удобства десятичной системы счисления.

Для перевода целого числа X_S, представленного в системе счисления с основанием S, в систему счисления с основанием R необходимо по правилам арифметики исходной S –системы делить данное число X_S на новое основание R до получения целого остатка, меньшего R. Полученное частное необходимо снова делить на основание R до получения целого остатка, меньшего R, и т.д. до тех пор, пока последнее частное будет меньше нового основания R. Число X_R в системе счисления с основанием R представится последовательностью остатков деления в порядке, обратном их получению, причем старшую цифру в числе X_R дает последнее частное.

Поскольку используется арифметика исходной системы, то таким способом удобно переводить из 10-й системы счисления в другие системы.

Пример 1. Перевести десятичное число 57₁₀ в систему счисления с основанием 2.

X_S = 57; X_R = ?

57	2
^–56	28		2
1	^–28		14		2
	0		^–14		7		2
			0		^–6		3		2
					1		^–2		1	←старший разряд числа в новой
							1			двоичной системе счисления

X₂ = 111001

Пример 2. Преобразовать десятичное число 634₁₀ в шестнадцатеричное.

Шаг	Деление	Частное	Остаток
1	634/16	39	А	младший значащий разряд
2	39/16	2	7
3	2/16	0	2	старший значащий разряд

X₁₆ =27А

Пример 3. Преобразовать десятичное число 57₁₀ в двоичное.

Шаг	Деление	Частное	Остаток
1	57/2	28	1	младший значащий разряд
2	28/2	14	0
3	14/2	7	0
4	7/2	3	1
5	3/2	1	1
6	1/2	0	1	старший значащий разряд

X₂ =111001

Перевод правильной дроби X_S, представленной в системе счисления с основанием S в систему счисления с основанием R, заключается в последовательном умножении этой дроби на новое основание R (по правилам исходной системы S), причем перемножению подвергаются только дробные части. Дробь X_R в системе счисления с новым основанием представится в виде последовательности целых частей произведений в порядке их получения, где старший разряд является целой частью первого произведения. Если требуемая точность перевода есть R^-k, то число указанных последовательных произведений равно k.

Пример 4. Перевести дробь 0,761 в двоичную с точностью 2^-5.

Заданное число умножаем последовательно 5 раз на 2.

			0,761
		х	2
Направление			1,522
записи		х	2
двоичного			1,044
числа		х	2
			0,088
		х	2
			0,176
		х	2
			0,352

Десятичной дроби X₁₀=0,761 с точностью 2^-5 соответствует двоичная дробь X₂=0,11000.

Пример 5. Преобразовать дробь 0,328125₁₀ в шестнадцатеричную с точностью 2^-2.

Шаг	Умножение	Произведение (целая часть)
1	0,328125*16=5,25	5	старший значащий разряд
2	0,25*16=4,00	4	младший значащий разряд

X₁₆ = 0,54

Пример 6. Преобразовать дробь 0,34375₁₀ в двоичную с точностью 2^-5.

Шаг	Умножение	Произведение (целая часть)
1	0,34375*2=0,6875	0	старший значащий разряд
2	0,6875*2=1,375	1
3	0,3750*2=0,75	0
4	0,75*2=1,5	1
5	0,5*2=1,0	1
6	0,0*2=0	0	младший значащий разряд

X₂ = 0,010110

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную часть (неправильных дробей), перевод из одной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной части по правилам, указанным выше.

Пример 7. Преобразовать десятичное число 634,328125₁₀ в восьмеричное.

Преобразование целой части
Шаг	Деление	Частное	Остаток
1	634/8	79	2	младший значащий разряд
2	79/8	9	7
3	9/8	1	1
4	1/8	0	1	старший значащий разряд
Результат 63410 =11728

Преобразование дробной части
Шаг	Умножение	Произведение (целая часть)
1	0,328125*8=2,625	2	старший значащий разряд
2	0,625*8=5,00	5	младший значащий разряд
Результат 0,32812510 =0,258

Общий результат: 634,328125₁₀=1172,25₈

Если для оснований систем счисления S и R справедливо соотношение S=R^k, где k – целое положительное число, то такие системы называются системами счисления с кратными основаниями.

Примером систем с кратными основаниями являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (2³=8, 2⁴=16).

Перевод чисел в системах с кратными основаниями не требует выполнения арифметических действий и выполняется достаточно просто путем шифрации.

Если основание исходной системы счисления выше основания новой системы, каждый символ числа X_S заменяется своим k-разрядным представлением в R–системе.

При переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную X₈→X₂, S=8, R=2, k=3 каждый восьмеричный символ заменяется двоичной тетрадой (тремя символами). При переводе числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную X₁₆→X₂, S=16, R=2, k=4 каждый восьмеричный символ заменяется четырьмя двоичными символами.

Пример 8. Перевести в двоичную систему счисления число X₁₆=F01,5A

Исходное число:	X16=	F	0	1	,	5	A
Эквивалентное число:	X2=	1111	0000	0001	,	0101	1010

X₂=111100000001,01011010.

Если основание исходной системы счисления ниже основания новой системы, число в исходной S-системе разбивается на группы по k разрядов (вправо и влево от запятой); неполные группы добавляются нулями (справа – для дробной части; слева – для целой части). Каждая группа из k символов системы счисления с основанием заменяется одним эквивалентным ей R-символом.

Пример 9. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления число X₂=10111,1101101

Исходное число:	X2=	1	0111	,	1101	101
Исходное число с разбивкой на триады и с добавлением нулей:	X2=	0001	0111	,	1101	1011
Эквивалентное число:	X16=	1	7	,	D	B

X₁₆=17,DB.

В памяти цифровых электронных устройств положительные и отрицательные двоичные числа могут храниться в прямом или в дополнительном коде.

Для записи положительного и отрицательного двоичного числа в прямом коде необходимо в знаковый разряд поместить знак числа («0» для положительного, «1» - для отрицательного).

Для получения дополнительного кода отрицательного числа необходимо все биты инвертировать, а затем увеличить число на единицу младшего значащего разряда.

Для положительных чисел прямой и дополнительный коды совпадают.

Пример 10. Примеры прямого и дополнительного кодов двоичных чисел

Число		X=	+0,1110010	-0,1110010
Коды:	Прямой	Xпр=	0 1110010	1 1110010
	Дополнительный	Xдоп=	0 1110010	1 0001110