- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •5. Сложное сопротивление
- •Основные понятия и формулы
- •5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
- •5.2. Внецентренное растяжение-сжатие стержней большой жесткости
- •6, 7 – Внутренние угловые
- •5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача № 29)
- •5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)
- •5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
- •Примеры решения задач
- •5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного сопротивления (задача № 32) Условие задачи
- •5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)
- •Основные определения
- •Пример расчета коленчатого вала
- •6. Устойчивость
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
- •6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
- •6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
- •7. Расчет на динамическую нагрузку
- •7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37)
- •Основные определения
- •Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи21
- •Решение
- •7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения
- •Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
6. Устойчивость
Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 15.
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 12 (§49–51).
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 13.
Основные понятия и формулы
При расчете простейших стержневых систем мы научились удовлетворять двум важным требованиям, предъявляемым к конструкциям: требованиям прочности и жесткости стержневой системы. Любая конструкция должна удовлетворять еще одному важному условию, а именно условию устойчивости. Об условии устойчивости сжатых стержней конструкции и пойдет речь в данном разделе.
Рис. 6.1. Сжатый
стержень:
а
– до приложения возмущающей нагрузки;
б
– под действием возмущающей нагрузки;
в
– после снятия возмущающей нагрузки
– прямолинейная форма равновесия
устойчива;
г
– после снятия возмущающей нагрузки
–прямолинейная
форма равновесия неустойчива
научиться находить величину критической нагрузки;
уметь обеспечить выполнение условий устойчивости и прочности, то есть вычислять допускаемую нагрузку или подбирать размеры поперечных сечений стержней так, чтобы была невозможна потеря устойчивости и прочности;
уметь определять нормируемый или действительный коэффициенты запаса устойчивости. Нормируемый коэффициент запаса устойчивости показывает во сколько раз критическая нагрузка превышает допускаемую, найденную из условия устойчивости. Величина нормируемого коэффициента запаса устойчивости не является постоянной величиной, а зависит от размеров стержня. Действительный коэффициент запаса устойчивости равен отношению критической нагрузки к действующей на стержень сжимающей силе.
Определение критической нагрузки. Перед отысканием критической силы надо найти величину гибкости стержня , которая ищется по формуле
(6.1)
Рис. 6.2. Определение
коэффициента
для разных видов
закрепления
В зависимости от величины определение критической силы для стержней из пластичного материала нужно производить по трем формулам:
если (стержень большой гибкости), то критическая сила определяется по формуле Эйлера
; (6.2)
если (стержень средней гибкости), то для нахождения критической силы используется формула Ясинского
; (6.3)
если (стержень малой гибкости), то
. (6.4)
Величины ,, коэффициентыa и b в формуле Ясинского зависят от материала. Значение находится из условия, что критическое напряжение, найденное по формуле Эйлера, не должно превышать(материал должен подчиняться закону Гука). Из этого условия можно найти
. (6.5)
, a и b определяются путем обработки экспериментальных данных. Для двух видов стали эти величины заданы в таблице при описании условия задачи № 34 в [4].
Условия устойчивости и прочности. Условием устойчивости центрально-сжатого стержня является условие
, (6.6)
где – коэффициент понижения допускаемых напряжений (или коэффициент продольного изгиба), зависящий от гибкости и материала стержня, – берется из таблиц. (Такая таблица приведена, например, в [2] на с. 370.)15
Из условия устойчивости (6.6), если известны размеры сечения, можно найти значение допускаемой нагрузки
, (6.7)
либо, если задана нагрузка F, определить площадь сечения А стержня. Однако найти сразу площадь А из условия устойчивости (6.6) нельзя, так как в этом условии коэффициент зависит от гибкости, которая, в свою очередь, зависит от неизвестных размеров поперечного сечения. Таким образом, в условии (6.6) сразу две неизвестные величиныА и , зависящие друг от друга, поэтому подбор сечения из условия устойчивости производят путем последовательных попыток. Целью этих попыток является подбор наиболее экономичного сечения, т. е. определение такого минимального размераА, при котором левая и правая части неравенства (6.6) близки друг к другу (желательно, чтобы они отличались друг от друга не больше чем на 5 %). Подбор сечений, не состоящих из прокатного профиля, т. е. размеры которых могут иметь произвольную величину (круг, прямоугольник и т. п.), удобно производить методом последовательных приближений, который позволяет находить размеры сечения с любой заданной точностью. Последовательность действий при подборе сечений будет описана в примерах решения задач.
Для центрально-сжатых стержней малой и средней гибкости более опасным, чем условие устойчивости, может оказаться условие прочности, которое записывается в таком виде:
. (6.8)
Здесь – так называемая площадь нетто, т. е. площадь сечения, равная полной площади, уменьшенной на площадь, занятую ослаблениями (отверстиями, выточками):.
Определение коэффициента запаса устойчивости. Нормируемый коэффициент запаса устойчивости определяется по формуле
, (6.9)
где допускаемая нагрузка находится из условия устойчивости (6.7). Обычно нормируемый коэффициент запаса устойчивости больше, чем нормируемый коэффициент запаса прочности, и для пластичных материалов находится в пределах .
Действительный коэффициент запаса устойчивости
,
где F – действующая на стержень сжимающая сила. Действительный коэффициент запаса устойчивости не должен быть меньше нормируемого, в оптимальном случае (для стержней с экономичным расходом материала) – равен нормируемому.