Примеры решения задач

5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного сопротивления (задача № 32) Условие задачи

Рис. 5.28. К решению задачи № 32: а – схема стержня с нагрузками;

б – местные системы координат на участках стержня

Задан стержень пространственного очертания, загруженный нагрузками (рис. 5.28, а). Для заданного материала стержня требуется подобрать размеры поперечного сечения наиболее опасного участка для двух вариантов сечения: круглого и прямоугольного.

Решение

Определим внутренние усилия, используя метод сечений и правила знаков для усилий, справедливые для всех задач сложного сопротивления (см. рис. 5.1). На каждом участке введем местные системы координат, показанные на рис. 5.28, б. Ось х всегда направлена вдоль оси стержня¹², оси – главные центральные оси инерции сечения. Чтобы не определять опорные реакции, будем рассматривать все силы со свободного конца стержня и найдем усилия в сечениях 0–5 (см. рис. 5.28,б).

; ;;

; ;;

; ;;;

; ;;

; ;

; ;;

; ;

; ;.

В соответствии с полученными результатами построим эпюры внутренних усилий (рис. 5.29). В рассматриваемом примере опасным является участок длиной , где действуют все усилия. На этом участке опасным будем считать сечение 5 (хотя при определенном сочетании величин нагрузок и размеров может быть опасным и сечение 4). Считая, что материал стержня – чугун (,,) подберем размеры поперечного сечения стержня, приняв следующие исходные данные:;;;;;. Для этих данных в опасном сечении 5 действуют такие усилия:,,,,,.

Рассмотрим первый вариант – стержень круглого поперечного сечения. Подбор радиуса сечения производим без учета продольной и поперечных сил в соответствии с заданным материалом из условия прочности по теории Мора (5.36). В формуле (5.36)

, ,.

Из условия (5.36) найдем необходимый момент сопротивления

см³,

откуда, вспомнив, что , найдем радиус сечения

см.

Округляя радиус в большую сторону, примем см.

Рис. 5.29. Эпюры внутренних усилий в стержне

Далее необходимо построить эпюры распределения напряжений в круглом поперечном сечении так, как описано во вступительной части разд. 5.3. Для рассматриваемого примера эти эпюры показаны на рис. 5.30. Напряжения определены по формулам (5.33)–(5.35). Сделаем проверку прочности для найденного размера с учетом продольной силы. Для чугунного стержня опасной является точка, в которой действуют растягивающие нормальные напряжения, т. е. точка 1 на рис. 5.30. В этой точке

кН/см²;

кН/см².

Подставим найденные напряжения в условие прочности по теории Мора (5.30):

кН/см² < кН/см².

Рис. 5.30. Эпюры напряжений (в кН/см²) в стержне

круглого сечения

Таким образом, найденный радиус см удовлетворяет условию прочности с учетом продольной силы и является окончательным.

Теперь рассмотрим второй вариант – стержень прямоугольного сечения с отношением . Подбор сечения производим из условия прочности (5.50) в угловой точке сечения. Поскольку в рассматриваемом примере, то располагаем сечение выгодным образом, т.е. так, чтобы осьрасполагалась по середине длинной стороныпрямоугольника. Тогдаи условие (5.50) для чугуна перепишем в таком виде:

.

Отсюда получим необходимый момент сопротивления

см³

и, учтя, что , найдем высоту сечения

см см.

Построим эпюры распределения напряжений в прямоугольном сечении от всех видов внутренних усилий так, как описано во вступительной части разд. 5.3, и проверим прочность во всех опасных точках. Эпюры напряжений и опасные точки для рассматриваемого примера показаны на рис. 5.31. Напряжения найдены по формулам (5.44)–(5.49). Опасными для хрупкого материала являются точки, в которых действуют растягивающие напряжения, т. е. точки 1, 2 и 3 (см. рис. 5.31). Суммируем напряжения в опасных точках с учетом их направлений. В точке 1

кН/см² <кН/см²,

то есть условие прочности выполняется.

В точке 2

кН/см²,

кН/см²

и условие прочности (5.30) по теории Мора

<кН/см²

выполняется.

Наконец, в точке 3 действуют напряжения

кН/см²,

кН/см².

Условие прочности (5.30) в этой точке

<кН/см²

Рис. 5.31. Эпюры напряжений (в кН/см²) в стержне

прямоугольного сечения

тоже выполняется. Таким образом, найденные размеры поперечного сечения иудовлетворяют условиям прочности во всех опасных точках.