Примеры решения задач

6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)

Условие задачи

Рис. 6.3. Условие задачи № 34:

а – сжатый стержень;

б – поперечное сечение стержня

Стержень, показанный на рис. 6.3, а, загружен сжимающей силой F. Поперечное сечение стержня, состоящее из двух швеллеров № 30 и двух планок, соединенных со швеллерами четырьмя болтами, изображено на рис. 6.3, б. Размер планок 40012 мм, диаметр болтов 20 мм. Материал – сталь С235 с . Требуется:

1. найти значение критической нагрузки;

2. определить допускаемую нагрузку так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности стержня;

3. вычислить нормируемый коэффициент запаса устойчивости.

Решение

Прежде всего найдем моменты инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Сечение имеет две оси симметрии (оси y и z на рис. 6.3, б), поэтому эти оси и будут главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции относительно этих осей определяем, используя данные из сортамента прокатной стали и формулы (5.16), (5.17):

Минимальным оказался момент инерции относительно оси z. Определяем площадь сечения

и минимальный радиус инерции по формуле (5.10)

Теперь можно найти гибкость стержня. Для заданного условия закрепления стержня в соответствии с рис. 6.2,б коэффициент . Тогда по формуле (6.1)

Сравним величину полученной гибкости стержня с характеристиками идля стали С235. По формуле (6.5)

по таблице, приведенной в [4, с. 29],. Таким образом, и для определения критической силы следует использовать формулу Ясинского (6.3):

Значения коэффициентов a и b в формуле Ясинского взяты из таблицы на с. 29 [4] и переведены из МПа в кН/см².

Найдем допускаемую нагрузку из условия устойчивости по формуле (6.7). Для определения коэффициента используем таблицу на с. 370 [2]¹⁶. Интерполируем значения , заданные в таблице:соответствует, а–. Тогда гибкостирассматриваемого стержня соответствует. Значение допускаемой нагрузки

Проверим, удовлетворяет ли найденная допускаемая нагрузка условию прочности (6.8). Вычислим площадь нетто, уменьшив полную площадь сечения на площадь, занимаемую четырьмя отверстиями под болты¹⁷:

Тогда условие прочности

выполняется.

В заключение найдем нормируемый коэффициент запаса устойчивости по формуле (6.9):

Коэффициент запаса устойчивости находится в пределах .

6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)

Рис. 6.4. К решению примера 1:

а – сжатый стержень;

б – поперечное сечение стержня

Пример 1

Условие задачи

Стержень, показанный на рис. 6.4, а, сжимается силой F = 600 кН. Сечение стержня, состоящее из двух равнополочных уголков, изображено на рис. 6.4, б. Материал стержня – сталь С235. Требуется подобрать размеры уголков так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15% площади сечения.

Решение

Сечение стержня состоит из уголков (прокатного профиля), поэтому используем для подбора сечения метод последовательных попыток. Поскольку в условии устойчивости имеем сразу две неизвестные величины (и), то одной из них задаемся произвольно. Удобно задаться. Тогда из условия устойчивости (6.6) найдем

Площадь одного уголка Из сортамента прокатной стали выбираем уголок, удовлетворяющий этому условию. Отметим, что в сортаменте может быть несколько уголков с примерно одинаковой площадью: уголки с длинной полкой и тонкой стенкой и уголки с короткой, но более толстой стенкой. Выбирать следует самые тонкие уголки, так как при одинаковой площади радиус инерции у тонких уголков больше и, следовательно, гибкость стержня с сечением из тонкого уголка меньше, а чем меньше гибкость, тем более устойчив стержень. В рассматриваемом примере выберем уголок 18011, площадь которого . Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осейy и z, которыми являются оси симметрии сечения (см. рис. 6.4, б). Следует ожидать, что радиус инерции относительно оси y будет минимальным, так как материал ближе расположен к оси y, чем к оси z. Убедимся в этом.

Радиус инерции одного уголка относительно оси берем из сортамента:, а расстояниеа (см. рис. 6.4, б) сосчитаем:

Таким образом, очевидно, что

и

Теперь найдем гибкость стержня¹⁸

и из таблицы, интерполируя, найдем . Проверим условие устойчивости:

Условие устойчивости выполняется, но сечение не является экономичным, поэтому сделаем еще попытку. Уменьшим размеры сечения и примем самый тонкий уголок их тех, у которых длина полки 160 мм, а именно, уголок 16010. ,и гибкость стержня

По таблице находим и видим, что условие устойчивости выполняется с небольшим запасом:

Сечение из двух уголков 16010 можно считать экономичным¹⁹. Условие прочности для подобранного сечения тоже выполняется, поскольку согласно условию .

В заключение найдем действительный коэффициент запаса устойчивости. Поскольку стержень с подобранным сечением из уголков 16010 имеет гибкость, находящуюся в пределах междуи, то определяем критическую силу по формуле Ясинского:

Действительный коэффициент запаса устойчивости

Пример 2

Условие задачи

Рис. 6.5. Сжатый стержень

квадратного поперечного

сечения

Деревянная стойка длиной l = 4 м квадратного поперечного сечения сжимается силой F = 100 кН (рис. 6.5). Требуется подобрать размер стороны квадрата а так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15 % площади сечения. Примем допускаемое напряжение на сжатие для дерева

Решение

Поскольку размеры сечения могут быть любыми, используем метод последовательных приближений. Выполним первое приближение. Примем . Из условия устойчивости (6.6) найдем площадь сечения, подставив:

.

Поскольку , то. Найдем минимальный радиус инерции сечения. Для квадрата любая ось является главной и радиус инерции относительно любой оси

.

Зная радиус инерции, вычислим гибкость стержня по формуле (6.1):

.

По таблице находим для дерева . Полученное значениееще сильно отличатся от величины, принятой в начале первого приближения, поэтому выполнимвторое приближение. Найдем как среднее арифметическое междуи:

и повторим все действия, выполненные в первом приближении:

Этой гибкости соответствует . Выполним еще одно,третье, приближение:

Соответствующее этой гибкости значение отличается отна 1,2 %. Такая точность достаточна, поэтому примем. Для этого размера в условии устойчивости

достигнуто желаемое равенство.

В заключение проверим условие прочности, считая .

.