- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •5. Сложное сопротивление
- •Основные понятия и формулы
- •5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
- •5.2. Внецентренное растяжение-сжатие стержней большой жесткости
- •6, 7 – Внутренние угловые
- •5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача № 29)
- •5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)
- •5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
- •Примеры решения задач
- •5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного сопротивления (задача № 32) Условие задачи
- •5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)
- •Основные определения
- •Пример расчета коленчатого вала
- •6. Устойчивость
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
- •6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
- •6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
- •7. Расчет на динамическую нагрузку
- •7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37)
- •Основные определения
- •Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи21
- •Решение
- •7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения
- •Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
Основные определения
Рис. 5.3. Косой
изгиб
Рис. 5.4.
Пространственный изгиб
При косом или пространственном изгибе в сечении стержня возникают четыре усилия: ,,и. Нормальные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле, полученной из (5.1) при,
. (5.3)
Касательные напряжения от поперечных сил, если нельзя воспользоваться формулой Журавского, допустимо не учитывать.
Порядок проверки прочности балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, тот же, что и для балки, работающей при плоском поперечном изгибе. Для этого необходимо:
построить эпюры внутренних усилий2. Для построения эпюр внутренних усилий раскладываем нагрузки на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая вызывает изгиб относительно горизонтальной оси , горизонтальная – относительно оси;
выбрать опасные сечения – сечения, где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание изгибающих моментов;
в опасных сечениях найти опасные точки – точки с максимальными нормальными напряжениями;
записать условие прочности в этих точках. Из условия прочности либо подобрать размеры поперечного сечения, либо найти допускаемую нагрузку, либо просто сделать вывод о возможности безопасной эксплуатации конструкции.
Определение положения опасных точек в стержне произвольного поперечного сечения производится по схеме, описанной ранее во вступительной части разд. 5. Поскольку в уравнении нейтральной линии
(5.4)
отсутствует свободный член, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения (рис. 5.5). Построив нейтральную линию и эпюру нормальных напряжений, найдем положение опасных точек. Допустим, что напряжение в точке 1 больше, чем в точке 1 (это можно определить по масштабу, если построить сечение и эпюру напряжений в масштабе). Условие прочности в опасной точке 1, которая находится в линейном напряженном состоянии, записывается так:
. (5.5)
Значение зависит от материала, из которого сделана балка, и для хрупкого материала необходимо учесть направление (растягивающее или сжимающее).
Для некоторых форм сечений, а именно прямоугольника, двутавра и других сечений, угловые точки которых находятся в углах прямоугольника, нет необходимости для записи условий прочности находить положение опасных точек. Для таких сечений положение опасных точек не зависит от угла наклона нейтральной линии, и опасные точки – это всегда угловые точки сечения. Условие прочности в этих точках записывается следующим образом:
, (5.6)
где и– моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей.
Рис. 5.5. Эпюра
нормальных
напряжений и
перемещение
точки О
оси балки
. (5.7)
Перемещения точек оси балки вдоль оси, вызванные горизонтальной составляющей нагрузки, определяются аналогично:
. (5.8)
Эти перемещения для точки оси балки показаны на рис. 5.5. Полное перемещение (отрезокна рис. 5.5) является геометрической суммой составляющихи. Отметим такую закономерность: при косом изгибе отрезокдолжен быть в точности перпендикулярен нейтральной линии [2], при пространственном изгибе этот угол, как правило, должен быть близок к. При косом изгибе плоскость, в которой лежит изогнутая ось стержня, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Это отличает косой изгиб от прямого, при котором плоскость действия нагрузки совпадает с одной из главных плоскостей осей инерции сечения и изогнутая ось лежит в той же плоскости.
Пример расчета балки при пространственном изгибе (задача № 28)
Условие задачи
Балка загружена нагрузкой, показанной на рис. 5.6. Сила кН действует в вертикальной плоскости,кН – в горизонтальной, пара силкНм – в плоскости, расположенной под углом к оси.
Требуется:
из условия прочности подобрать номер двутавра;
Рис. 5.6. Схема нагрузки на балку
нарисовать сечение балки в масштабе и показать на нем нейтральную линию и полное перемещение точки . Определить угол между нейтральной линией и полным перемещением3.
Решение
Разложим нагрузку на вертикальную (рис. 5.7, а) и горизонтальную (рис. 5.7, в) составляющие и построим эпюры и(рис. 5.7,б, г). Чтобы правильно поставить знаки изгибающих моментов, необходимо на рисунках показывать направление осей и, так как в соответствии с правилом знаков для изгибающего момента в задачах сложного сопротивления знак момента зависит от направления осей. Эпюры моментов строим со стороны растянутых волокон в той плоскости, в которой действует нагрузка. По эпюрам выбираем опасные сечения. В рассматриваемом примере их два: сечение, в котором действуюткНм и кНм, и сечение с изгибающими моментамикНм и кНм.
Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид (5.6). Поскольку отношение моментов сопротивления зависит от номера двутавра, а он неизвестен, примем это отношение условно4 равным 10.
Рис. 5.7. Эпюры
изгибающих моментов:
а,
б
– от вертикальной составляющей нагрузки;
в,
г
– от горизонтальной составляющей
нагрузки;
д,
е
– от единичной силы
,
где допускаемое напряжение для стали принято = 160 МПа; величины изгибающих моментов переведены из кНм в кНсм. Из написанного условия прочности найдем необходимый момент сопротивления
см3.
По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Для двутавра № 50 с такими характеристиками: см3 и см3 условие прочности в опасных точках сечения
кН/см2
не выполняется, поэтому увеличиваем двутавр. Проверим прочность для двутавра № 55, у которого см3 и см3:
кН/см2.
Убедимся в том, что условие прочности выполняется и в опасных точках опасного сечения :
кН/см2.
Обратите внимание на величину напряжений от изгибающего момента , действующего в горизонтальной плоскости, которую показывает второй член в сумме. Видно, что, несмотря на то, чтов рассмотренном примере существенно меньше, напряжения отбольше, чем напряжения от(или они примерно одинаковы). Это говорит об опасности изгиба в горизонтальной плоскости, особенно для двутавров, у которых.
Найдем перемещение точки . Будем искать по формуле (5.7) сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную вертикальной составляющей нагрузки. Формулу Максвелла – Мора (5.7) интегрируем по правилу Верещагина, перемножая эпюрыи(рис. 5.7,б, е). Если хотя бы одна эпюра на участке имеет форму трапеции, используем для перемножения правило трапеций [6].
кНм3.
Аналогично определим по (5.8) горизонтальную составляющую перемещения5, перемножая эпюры и(рис. 5.7,г, е).
кНм3.
Положительные знаки перемещений свидетельствуют о том, что перемещения происходят по направлениям единичных сил, т. е. вертикальное перемещение – вниз (по направлению оси ), горизонтальное – по направлению оси. Сосчитаем найденные составляющие перемещения (в см), разделив их на соответствующие жесткости.
кНсм2,
кНсм2,
см,
см.
Из сравнения величин ивидно, что горизонтальная составляющая перемещения, даже при небольшой горизонтальной нагрузке, много больше (особенно для двутавра) вертикальной составляющей.
Выполним последнюю часть задачи. Нарисуем сечение балки в масштабе, покажем на нем нейтральную линию и полное перемещение. Уравнение нейтральной линии (5.4) в опасном сечении С имеет вид6
или . Нейтральная линия, построенная по этому уравнению, и эпюра нормальных напряжений в сечениипоказаны на рис. 5.8. Знаки напряжений соответствуют положительным знакам изгибающих моментов. Угловые точки 1, 1 – это опасные точки сечения, в которых мы ранее находили напряжения.
Рис. 5.8. Эпюра
напряжений
в опасном сечении
С
и перемещение
точки С
.
Отложим в масштабе найденные ранее вертикальную и горизонтальнуюсоставляющие перемещения с учетом их направления. Полное перемещение точки– отрезокна рис. 5.8 равен геометрической суммеи. Уголмежду полным перемещением и осью
.
Таким образом, угол между полным перемещением и нейтральной линией, что близко к.