Волковой М.С. Метрология

31

U 2 220 4,4B. 100

100 % 4,4100 % 1,47 % 1,5 %. UN 300

Это соответствует классу точности 1,5. Результат измерения: U = (220 ±

±4,4) В.

Вцелях единообразия представления результатов и погрешностей измерений показатели точности и формы представления результатов измерений стандартизированы [11]. Стандартом установлено, что в численных показателях точности измерений (в том числе и в погрешности) должно быть не более двух значащих цифр.

При записи результатов измерений разрядность числовых значений результата измерения определятся разрядностью численных значений показателей точности. Практикой выбраны следующие правила округления результатов и погрешностей измерений.

1. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерения оканчивается нулями, то нули отбрасываются только до того разряда, который соответствует разряду погрешности, например результат 2,0700, погрешность 0,001 – результат округления до 2,070.

2. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остающиеся цифры числа не изменяются, например число 253 447 при сохранении четырех значащих цифр должно быть округлено до 253 400, чис-

ло 235,435 – до 235,4.

3. Если цифра старшего разряда из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, например при сохранении трех значащих цифр число 34 678 округляют до 34 700, число 326,56 – до

327.

4. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру не изменяют, если она четная, и увеличивают, если она нечетная, например число 22,5 при сохранении двух значащих цифр округляют до 22, а число 23,5 – до 24.

5. Округление результатов измерений производят лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с лишними знаками. Если руководствоваться этими правилами округления, то количество значащих цифр в числовом значении результата измерений дает возможность ориентировочно судить о точности измерения. Это связано с тем, что предельная погрешность обусловлена округлением и равна половине единицы последнего разряда числового значения.

32

1.2.Анализ методов измерений

1.2.1.Прямые однократные измерения

Прямые однократные измерения проводят:

–при измерении в случае возможного разрушения объекта;

–из-за экономической целесообразности;

–при измерении физической величины непосредственно измерительным прибором.

Эти измерения возможны, если:

–известен полный объем информации об объекте (энтропия равна

нулю);

–хорошо изучен метод измерения;

–измерения проводятся прибором, прошедшим нормоконтроль. Оценка систематической погрешности прямого однократного изме-

рения включает определение:

–методической погрешности (абсолютной погрешности, погрешности взаимодействия);

–инструментальной погрешности прибора (амперметра, вольтметра

ит.д.);

–дополнительной погрешности от температуры окружающей среды, влияния магнитных полей.

Суммарная систематическая погрешность определяется по формуле

n

i,

i 1

где θi – i-я составляющая систематической погрешности.

Рассмотрим случай анализа систематической погрешности, когда источник питания электрической схемы представляет собой идеальный источник тока (Rвн ).

Пример 1.5. Необходимо определить падение напряжения на сопротивлении R = 4 Ом при протекании тока в 2 А от идеального источника тока аналоговым вольтметром, внутреннее сопротивление которого Rν = 1 000 Ом, имеющим предел измерения UN = 20 В. Измерения проводились при температуре окружающей среды +35 °С. В паспорте вольтметра записано: ...дополнительная погрешность, на каждые 10 °С отличия от номинальной температуры +20 °С, равна половине основной погрешности в диапазоне от 0 °С до 50 °С. Электрическая схема установки показана на рис. 1.11.

33

I = 2 A

R

RV

Рис. 1.11. Электрическая схема установки

– Расчет методической погрешности

Учитывая параллельное включение сопротивлений в схеме, запишем

R RRV 4 1000 3,98 Ом.

R RV

4 1000

Падение напряжения на R по закону Ома при условии RV

U I R 2 4 8 В.

Измеренное падение напряжения на сопротивлении R при условии RV

Uизм I R 2 3,98 7,96 В.

Определяем абсолютную погрешность:

Uизм U 7,96 8 0,04В.

Определяем относительную методическую погрешность:

			0,04	0,5 %.
	Uизм
		7,96
Определяем поправку:	0,04B.

Результат измерения с учетом поправки:

U7,96 0,04 8В.

–Расчет основной (статической) погрешности 0 .

Данная погрешность состоит из инструментальной и мультипликативной погрешностей.

Определяем инструментальную (аддитивную) погрешность вольтметра

инст UN 0,005 20 0,1 В.

Определяем мультипликативную погрешность вольтметра

Uизм 0,005 7,96 0,04В.

Основная (статическая) погрешность вольтметра

0 0,1 0,04 0,14B.

– Расчет дополнительной погрешности:

доп 0,5 0(35 20) 0,105B. 10

34

– Расчет суммарной абсолютной погрешности:

0 доп 0,14 0,105 0,245В.

– Расчет относительной погрешности однократного измерения:

0,245100 % 3,06 %.

U 8

Окончательный результат однократного измерения:

U 8В;

0,245В;

Рдов 1.

Это значит, что ни при каких обстоятельствах систематическая погрешность в данном эксперименте не превысит по модулю 0,245 B.

1.2.2. Прямые измерения с многократными наблюдениями

Случайные погрешности проявляются при многократных и равноточных измерениях, т.е. при измерениях, выполненных по одной и той же методике, средствами одинаковой точности и при переменных внешних условиях.

Примеры случайной погрешности: трение в опорах рамки измерительных приборов, тепловое воздействие на рамку, изменение сопротивлений соединительных проводов, плохой контакт, влияние магнитных полей, влияние петли гистерезиса и т.д.

Задача оценки случайной погрешности – указать границы изменения погрешности результата измерений при повторных измерениях (доверительный интервал).

Аналитически случайная погрешность измерений описывается и оценивается с помощью аппарата теории вероятностей и математической статистики. При такой оценке обычно интересуются вероятностью ( ) того, что погрешность результата измерений ( ) находится в некотором заданном доверительном интервале распределения погрешностей (– Г1, Г1), где – Г1 и Г1 соответственно нижняя и верхняя границы интервала. Записывается данная вероятность как (– Г1 Г1), и из математики известно, что в общем случае 0 1.

Для определения значения вероятности (– Г1 Г1) необходимо знать закон ( ) распределения случайной погрешности , называемый

плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятностей)

случайной погрешности . При известном законе распределения ( ) искомая вероятность определяется по формуле

Г1

P( Г1 Г2 ) ( )d .

Г2

35

Из физических представлений следует, что вероятность нахождения погрешности на интервале всех возможных погрешностей измерений, т.е. в общем случае на интервале (– , + ),

P( ) ( )d 1.

Данное выражение называется условием нормирования плотности распределения вероятностей ( ), которое означает, что площадь под графиком любой функции ( ) на интервале всех ее значений должна быть равна единице.

В практике измерений наиболее часто используются нормальный (Гаусса), равномерный и треугольный (Симпсона) законы распределения погрешностей.

Нормальный закон распределения погрешностей

Этот закон применяется при следующих предположениях:

–погрешность должна принимать непрерывный ряд значений или монотонный в интервале ± ;

–при выполнении значительного числа измерений большие погрешности появляются реже, чем малые, а частота появления погрешностей, равных по абсолютной величине и противоположных по знаку, одинакова.

Для нормального закона распределения

		1				1					2
								(		)
( )					e	2			.
			2

где – среднеквадратическое отклонение (СКО) погрешности , характеризующее точность выполненных измерений (чем меньше , тем выше точность). По мере уменьшения рассеяние случайных погрешностей относительно центра их распределения (в данном случае относительно значения = 0) уменьшается. На рис. 1.12 изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратичного отклонения. Из рисунка видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.

36

Рис. 1.12. Графики нормального закона распределения плотности вероятности случайных погрешностей

В теории вероятности часто используется такой параметр, как дисперсия D, характеризующая рассеяние погрешности относительно центра распределения. Причем среднеквадратическое отклонение и дисперсия

связаны известной в математической статистике формулой D .

На графике плотности вероятности для конкретного СКО (см. рис. 1.12) вероятность численно равна площади S заштрихованной фигуры, ограниченной функцией ( ), отрезком оси от – Г1 до Г1 и ординатами(– Г1), ( Г1). Чем шире заданный интервал погрешностей, тем больше площадь S, т.е. больше вероятность попадания случайных погрешностей измерений в этот интервал. Для интервала (– ,+ ) вероятность

(– + ) = 1.

Равномерный закон распределения плотности вероятности

Данный закон применяется тогда, когда случайная погрешность измерений с равной плотностью вероятности принимает любые значения в ограниченном интервале. Этот закон характерен для случайных погрешностей при измерении непрерывных физических величин методом дискретного счета при преобразовании величин в аналого-цифровых преобразователях с поразрядным взвешиванием, из-за погрешности дискретности и квантования, а также для погрешностей отсчета показаний со шкал аналоговых приборов.

Все возможные случайные погрешности результата измерений, описываемых равномерным законом, расположены в интервале (– m, m), где

37

m – максимальная погрешность. Аналитически плотность вероятности ρ(Δ) равномерного закона распределения определяется по формуле:

		1	, m	m;
		2 m
	( )

0, m; m.

	Вероятность того, что случайная по-
	грешность результатов измерений нахо-	1/(2Δm)
	дится в некотором симметричном интерва-
	ле (– Г1, Г1), определяется приведенным			–	m – Г1 0 Г1 m
	выше выражением при подстановке в него
		Рис. 1.13. График равномерно-
	значения плотности распределения вероят-
	ности ρ(Δ) = 1/2 m. График равномерного	го закона распределения веро-
					ятности
	закона распределения плотности вероятно-
	сти приведен на рис. 1.13.
	На графике (см. рис. 1.13) площадь заштрихованного прямоугольни-
	ка основанием 2 Г1 и высотой 1/2 m численно равна вероятности:
	Г1	1 Г1
	P( Г1 Г1) ( )d		d			Г1	.
	Г1	2 m Г1				m

Для равномерного закона, симметричного относительно центра = 0, расчет случайной погрешности выполняется с помощью известного из теории вероятностей выражения для дисперсии случайной величины:

				2	1 m		2	2m		m
D
			( )d				d						.
					2 m m			3	3

Треугольный закон распределения (закон Симпсона)

Закон характерен для случайных погрешностей цифровых приборов, в которых измеряемая величина преобразуется в пропорциональный интервал времени Тсч, называемый временем счета, а измерение этого интервала выполняется с помощью счетных импульсов стабильного генератора, имеющих период следования Т0 (АЦП с временной разверткой). В связи со случайным положением счетных импульсов относительно интервала Тсч, а также случайным соотношением между периодом Т0 и временем счета Тсч треугольный закон представляет собой композицию (объедине-

38

ние) двух равномерных законов с одинаковыми по величине максимальными погрешностями m.

Функция распределения одномерной плотности вероятности случайных погрешностей для треугольного закона задается следующими соотношениями:

	m
						, m 0;
			2
		m
		m
( )						,0 m;
			2
		m
0,				m	;		m

и приведена на рис. 1.14.

1/Δm

– m

– Г1 0

Г1

m

Рис. 1.14. График треугольного закона распределения плотности вероятности

Заштрихованная область на рис. 1.14 численно равна вероятности, определяемой по формуле

								Г1		m
P( Г1 Г1) 2
										2	d
								0		m
		Г1				Г1	2
								.
2
	m				m

Среднеквадратическое отклонение для треугольного закона

m /6.

Порядок обработки результатов прямых многократных измерений

При измерениях с многократными наблюдениями обработка результатов проводится по-разному, в зависимости от числа серий наблюдений, а также от условий и числа наблюдений в каждой серии, значимости систематических погрешностей, законов распределения случайных погрешностей и ряда других факторов. В простейшем случае примем одну серию наблюдений с n = 24 и при условии, что невозможно оценить и исключить систематические погрешности.

1.Снять n = 24 независимых результатов наблюдений и занести в

таблицу.

2.Определить математическое ожидание (среднее арифметическое):

39

1

mx n xi .

3. Определить среднее квадратичное отклонение (СКО) или рассеивание единичных результатов по приближенной формуле Бесселя

	n	mx )2
	(xi
	i 1		,
	n 1
D = 2,

где D – дисперсия.

Качество и точность измерений тем выше, чем меньше СКО, тем меньше вероятность рассеивания результатов наблюдений D.

4.Если xi – mx > 3 , то необходимо убрать грубые отсчеты (промахи) и снова повторить п. 2, п. 3.

5.СКО среднего арифметического Sx :

					n	2
					xi mx
	S										.
		x
					n n 1
									n

6. Проверить гипотезу, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения вероятности:

n	n
xi	0, xi2 min,
i 1	i 1

где xi = xi – mx.

7. Построить кривые рассеивания результатов измерений и погрешностей согласно нормальному закону распределения вероятности, которые показаны на рис. 1.15.

40

f(x) = ρ(x)

грубые		грубые
случайные		случайные
погрешности		погрешности

–3σ –ε 0 ε 3σ

Рис. 1.15. Кривые нормального распределения

8. Определить доверительные границы ε случайной погрешности при заданной доверительной вероятности P = 0,95. P = 0,95 принято в технических измерениях для единообразия оценки случайных погрешностей.

tq tqSx ,

где tq – коэффициент Стьюдента при n = 24, tq = 2,064.

9. Определить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерений при условии равномерного распределения НСП

m

k Qi2 ,

i 1

где Qi – граница НСП; k – коэффициент, определяемый принятой в технических расчетах доверительной вероятностью P = 0,95; m – количество НСП. Если m = 0, то ε = .

10. Определить доверительные границы погрешности результата из-

мерений .
Если			0,8 или		0,8, то НСП пренебрегаем и граница по-
	S	x

грешности результата Г = .

Если			0,8	или		0,8, то случайной погрешностью можно пре-
	S	x

небречь и граница погрешности результата Г = .

Если оба неравенства не выполняются, то вычисляют СКО среднего арифметического групп наблюдений: