Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

4, Вероятность отказа в обслуживании заявки ^отк = ^3 = 0,180.

5. Относительная пропускная способность ВЦ

^ = 1 ~ Ротк = 1 - 0Л80 = 0,820.

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ A = Xq=-l- 0,820 = 0,820.

7, Среднее число занятых каналов - ПЭВМ к ^р(1- Р^к) = Ь8 . (1 - 0,180) = 1,476.

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно счи­ тать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р^ = 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных Яиц можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сокра­ тить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (3.28):

Составим следующую таблицу:

п	1	2	3	4	5	•6
Ро	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166	j
р	0,643	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078
'* ОТК

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях Л и ц до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при л = 6 вероятность отказа в обслуживании (Рсггк) составляет 0,0078.

100

Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием.

Процесс массового обслуживания с ожиданием характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями Я и ц соответственно; параллельно могут обслуживаться не более С клиентов. Система имеет С каналов об­ служивания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/ц.

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описа­

но с помощью системы алгебраических уравнений:
О = Я P^^i -	(Я + /1 . ц) Р„ + (га + 1) ц P^^i
при 1 < л < С;			(3.32)
О = Я P^^i -	(Я + С . ц) Р^ + С ц />^+1
при я > с.
Решение системы уравнений (3.32) имеет вид:
	р	при 0<л<С,	(3.33)
П	асИ - /г^о,	при п>С,	(3.34)
где		-1
Рп =			(3.35)
	/1=0 п\	С! 1-

Решение будет действительным, если выполняется следующее

условие: \кСЯ <1.

Вероятностные характеристики функционирования в стацио­ нарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

вероятность того, что в системе находится п клиентов на обслу­ живании, определяется по формулам (3.33) и (3.34);

среднее число клиентов в очереди на обслуживание

	С-9 1	(3.36)
	^я =.(C-p)2jРс;

101

среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на об­ служивание и в очереди)

1^ = L^ + р;	(3.37)
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на об­
служивание) в очереди
W.^b.,	(3.38)
средняя продолжительность пребывания клиента в системе
^S=^g+rr	(3.39)

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового об­ служивания с ожиданием.

Пример 3.5. Механическая мастерская завода с тремя поста­ ми (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неис­ правных механизмов, прибывающих в мастерскую, — пуассоновский и имеет интенсивность Л = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t = 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской мо­ жет расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероят­ ностных характеристик системы:

вероятности состояний системы; среднее число заявок в очереди на обслуживание;

среднее число находящихся в системе заявок; среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

1.Определим параметр потока обслуживании

ц= 4 = 1/0,5 = 2.

2.Приведенная интенсивность потока заявок

р = Х ^ = 2,5/2,0 = 1,25, при этом 'k/\i • с = 2,5/2 • 3 = 0,41.

102

Поскольку Х/\\. • с <, то очередь не растет безгранично и в сис­ теме наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

1-1

Рп =				1
«=0"!		С!
			, Р'	Р'		Р'
			1!	2!	3!	1-?
						Т = 0,279;
2		3	, ,^^ 1,25^	1,25^
'	6.(i-f)
			1 + 1,25+-^-'^г—+6.(l-^'2^
		Pi =^Ро =1.25-0,279 = 0,349;
		о^	1 25^
		^з=1Г^0 = ^ - 0 , 2 7 9 = 0,091;
		о'*	1 гз''

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

= 0,279 + 0,349 + 0,218 + 0,091 = 0,937.

5, Среднее число заявок в очереди на обслуживание

	Ср	3-1,25	0,091 = 0,111.
	Ч =(С-р)^	(3-1,25)2

103

6.среднее число находящихся в системе заявок

1^ = L^ + р = 0,111 + 1,25 = 1,361.

7.Средняя продолжительность пребывания механизма в очере­ ди на обслуживание

И^ - --1 = M i l =: 0,044 суток. ^ л 2,5

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мас­ терской (в системе)

}Vs=JV^-^- = 0,044 + - = 0,544 суток.
^ ц	2

Модель обслуживания машинного парка

Модель обслуживания машинного парка представляет собой

модель замкнутой системы массового обслуживания.

До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность X входящего потока за­ явок не зависит от состояния системы. В этом случае источник за­ явок является внешним по отношению к СМО и генерирует нео­ граниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых X зависит от состояния системы, при­ чем источник требований является внутренним и генерирует огра­ ниченный поток заявок.

Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков {N> К), причем каждая машина мо­ жет обслуживаться только одним механиком. Здесь машины явля­ ются источниками требований (заявок на обслуживание), а меха­ ники — обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и ста­ новится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность X зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации {N — к) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожи­ дая обслуживания (к).

В рассматриваемой модели емкость источника требований сле­ дует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - к), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслу­ живания. При этом каждая машина из (Л'^ — к) находится в эксплу­ атации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсив-

104

ностью X независимо от других объектов; общий (суммарный) вхо­ дящий поток имеет интенсивность {N — к) . X. Требование, посту­ пившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все ка­ налы занятыми обслуживанием других требований, то оно не по­ кидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из кана­ лов не станет свободным.

Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.

Состояние Sj^ системы характеризуется общим числом требова­ ний, находящихся на обслуживании и в очереди, равным к. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, А: = О, 1,2, ..., N, При этом, если система находится в состоянии 5^, то число объек­ тов, находящихся в эксплуатации, равно (N - к).

Если X — интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то

(N-k)'X 0<k<N,

Оk>N,

к^х,	0<k<R,
М^ = R'li	R<k<N,

Оk>N.

Система алгебраических уравнений, описывающих работу за­ мкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим об­ разом:

	0 = -pNPo+Pi;
	0=:(N-k	+ l)pPi,_i-[(N-k)p-hk]Pf,+(k + l)Pj,^l	0<k<R,	(3.40)
	0=^(N-k	+ l)pPf,_i-[(N-k)'p-^R]Pl,+RP,,+l	R<k<N,

0 = 9PN-I-RPN'

Решая данную систему, находим вероятность к-то состояния:

т-р"	:Рп	l<k<R,
Л = kHN-ky.		(3.41)
Rl'R^~^'(N-k)l •Рп		R<k<N,

105

N

Величина PQ определяется из условия нормирования Е Д = 1

А:=0

полученных результатов по формулам (3.41) для J\, к = 1, 2, ..., N.

Определим следующие вероятностные характеристики системы:

среднее число требований в очереди на обслуживание

N	(3.42)
Lg= 1 {k-R)Pj,\
k=R
Среднее число требований, находящихся в системе (на обслу­
живании и в очереди)
Ls^^kPj,]	(3.43)
среднее число механиков (каналов), простаивающих из-за от­
сутствия работы
Rn=i(R-k)Pk\	(3.44)
А:=0
коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в
очереди
а , = ^ ;	(3.45)
коэффициент использования объектов (машин)
а2 = 1 -	(3.46)

коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)

среднее время ожидания обслуживания (время ожидания об­ служивания в очереди)

W'[lz2±yi, (3.48)

106

Пример 3.6. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производи­ тельности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера ~ пуассоновский с интенсивностью X = 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: t =1,25 час.

Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:

•оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае Л = 2,7V = 10;

•каждый из двух инженеров обслуживает по пять закреплен­ ных за ним ПК. В этом случае Л = 1, 7V = 5.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслу­ живания ПК.

Решение

1.Вычислим параметр обслуживания

2.Приведенная интенсивность

^	0.2	„ ^ .
Р = - = -Г7Г = 0,25.
^ ц	0,8

3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух ва­ риантов организации обслуживания ПК.

Вариант 1

• Определим вероятности состояний системы:

Л = ЩЫ-ку.

Nl-o''

RlR''-^(N-ky.

_ 10!0,25' _ - . _

107

2!-22-2.(10-2)! Ю'О 25^

2!-2''-2-(10-4)!
2!-2^-2-(10-5)!
2!-2^-2-(10-6)!
2!-2^-2(10-7)!
2'-2^~2-(10-8)!
2!-2'-2(10-9)!
№0Д5'».Р,	. „ „ „
2!Г"~2-(10-10)!

• Учитывая, что Z Д =1> и используя результаты расчета Pf^,

вычислим PQ.

N

S Р^= 7^0+2,5-^0+2,812.Ро+2,8ЬРо+...+0,007.^0=1.

А:=0

Откуда PQ = 0,065, тогда

Р, = 0,162; Рз = 0,183; Р^ - 0,182; Р4 == 0,160; Ps - 0,11; Рб = 0,075; Ру = 0,037; Pg « 0,014; Р9 = 0,003; Рю == 0,000.

108

Определим среднее число компьютеров в очереди на обслу­ живание:

= О + (3	~ 2) . 0,182 + (4 -- 2) • 0,160 + (5 ~ 2)	• 0,11 -f (6 - 2) •
• 0,075	+ (7 - 2) • 0,037 + (8 -2) • 0,014 + (9	- 2) • 0,003 =

= 0,182 + 0,32 + 0,33 + 0,3 + 0,185 + 0,084 + 0,021 == 1,42.

Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на об­ служивании и в очереди):

N

= Ь Pj + 2 • ^2 + 3 • Рз + 4 • ^4 + 5 • ^5 + 6 • Рб + 7 • ^7 +

+8 • Pg + 9 • ^9 + 10 • Ло =

=0,162 + 2 . 0,183 + 3 • 0,182 + 4 • 0,16 + 5 . 0,11 +

-ь 6 • 0,075 + 7 • 0,037 + 8 • 0,014 + 9 • 0,003 + Ю • О = 3,11.

Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за от­ сутствия работы:

Л„= 5 : ( Л ~ А : ) Р А : = ( 2 ~ 0 ) Р О + ( 2 ~ 1 ) / ! = 2 0 , 0 6 5 + 10,162 = 0,292.

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий:

Lq 1,42 ^^,^

Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле

—[^)-[^]= 0,689.

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитыва­ ется так:

R„ 0,292 . , . , а з = - ^ = —2—= 0,146.

109