Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

Интефалы (1.53) и (1.54) не выражаются через элементарные функции, поэтому для вычислений по формуле (1.52) обычно осу­

ществляют замену Z2 = ^^^ ^ Z\=	~^^^^ и переходят к функ-
^х	^х

ции стандартного нормального закона распределения, которая име­ ет вид формулы (1.51). Тогда

/>(а < Z < (3) = F(p) - Да) = Ф(г2) ~ Ф^!)-

Значения функции стандартного нормального закона распреде­ ления табулированы и приведены в приложении 6.

Отклонения случайной величины X от математического ожида­ ния практически заключены в интервале ±3a^., при этом вероят­ ность попадания X в данный интервал равна 0,9973.

Пример 1Л, Среднее время обслуживания персонального ком­ пьютера (ПК) / = 2 ч. Среднее квадратическое отклонение вре­ мени обслуживания равно а^ = 0,403 ч.

Определить вероятность окончания обслуживания ПК в тече­ ние интервала времени от 1,5 до 2,5 ч.

Решение

1. Вероятность попадания случайной величины t в интервал [1,5; 2,5] будет равна:

/7(1,5 < / < 2,5) = Д2,5) - Д1,5).

2. Определим t:

(2,5-2)

(U - 2)

"i-MoT""-*'^^-

3. По таблицам приложения 6 определим значение стандартной нормальной функции распределения:

Ф(Z2) = Ф(1,24) = 0,892; Ф(г,) = Ф(-1,24) = 0,107. .

30

4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интер­ вала времени [1,5; 2,5] будет равна:

/?(1,5 < t < 2,5) = Ofe) - ФiZl) = 0,892 - 0,107 == 0,785.

Г. Гкмма-распределение и распределение Эрланга. Неотрицатель­ ная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее

плотность распределения вычисляется по формуле

/кМ = Щ.	при X > О,	(1.55)
где Я > О и А; > 0;
Т(к) - гамма-функция равна:
m ) = 7^^^/^-^.flf/,		(1.56)
О
если к — целое неотрицательное число, то
Г(А:) = к\		(1.57)

Математическое ожидание случайной величины X, подчинен­ ной гамме-распределению, равно:

т ^ = ~ .

(1.58)

При этом дисперсия величины X определяется по формуле

^ х = ^ .

(1.59)

При целом к> \ гамма-распределение превращается в распре­ деление Эрланга к-то порядка, т. е.

Л(х)=

(^^1);

(^>0; ^ = 1.2,...).

(1.60)

Закону Эрланга к-то порядка подчинена сумма независимых случайных величин Xj + Х2 + ... + х^^, каждая из которых распреде­ лена по показательному закону с параметром Я.

При к = \ гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром X.

31

д. Показательное распределение. Непрерывная случайная вели­ чина X имеет показательное распределение, если ее плотность рас­ пределения выражается формулой

Лх) = Л . ^ - ^ , x > 0 .

(1.61)

Положительная величина X является параметром показательно­ го распределения.

Функция распределения случайной величины X выглядит сле­ дующим образом:

-Хх	(1.62)
F{x) = 1 - e'"^, Я > О, О < X < оо.

Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 1.9.

а) функция показательного	б) плотность показательного
распределения	распределения

Рис. 1.9. Графики показательного распределения

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показательное распределение, обратно его параметру, т. е.

1	(1.63)

Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное рас­ пределение, равна:

(1.64)

Отсюда

^х = у т.е.	а^=тх=-.	(1.65)

32

Коэффициент вариации случайной величины X, имеющей по­ казательное распределение, равен единице:

V^c- Шу Л.

Существует важное соотношение между пуассоновским и экс­ поненциальным распределениями. Если случайная величина под­ чинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя последовательными отказами, распределена по экспоненциальному закону. Экспоненциальное распределение можно в сущности вывести из распределения Пу­ ассона.

Е. Равномерное распределение. Непрерывная случайная величи­ на ЛГ имеет равномерное распределение на отрезке [а, Ь], если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне его — рав­ на нулю:

	1	при	а<х<Ь;
	f(x) = Ь-а			(1.66)
		х>Ь\	х<а.
	О

Кривая равномерного распределения показана на рис. 1.10.

т

>к

1

ь-а		: ^ .	. ^: 1
			j
	rJ '	•• ^^''"	- 1
0 -	и.,*ш.^."*ш":*ш. ь ^		: „ . {	•
	а	т^	b	X

Рис. 1.10. Кривая равномерного распределения

Значения Дх) в крайних точках а и b участка (а, Ь) не указыва­ ются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.

33

кривая равномерного распределения (рис. 1.10) имеет вид пря­ моугольника, опирающегося на участок [а, Ь].

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке [а, Ь], равно:

Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное рас­ пределение на участке [а, Ь], вычисляется по формуле

Z . , . < ^ .	(1.68)
Отсюда
^ ; c = V ^ x = - ^ -	(1.69)

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на участок [а, [3] выразим формулой

P(a<Z<P) = ^ ^ .

(1.70)

Пример 1.5. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 мин. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 мин?

Решение

Так как ф - а) = 3 мин, г (Ь - а) = 4 мин, то

Р(0<Х<3) = т = 0,75. 4

1.5. Выбор теоретического закона распределения случайной величины

в любом статистическом распределении присутствуют элемен­ ты случайности, и, как следствие, экспериментальные точки гисто­ граммы обычно колеблются от опыта к опыту около неизвестной кривой истинного распределения.

При наличии числовых характеристик случайной величины (ма­ тематического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации)

34

законы ее распределения могут быть определены в первом прибли­ жении по табл. 1.5.

Таблица 1.5 Законы распределения случайной положительной величины

в зависимости от коэффициента вариации

Пределы изменения коэффициента	Закон распределения случайной
вариации У^	величины X
К^<0,3	Нормальный	1
0,3 <V^< 0,4	Гамма-распределение
0,4 S К^ < 1	Вейбулла
Кс=1	Экспоненциальный, Пуассона

Для более точного определения теоретического закона распре­ деления проводят дополнительную статистическую обработку дан­ ных. При обработке статистических данных решают вопрос о том, как подобрать для исходного статистического ряда теоретическую кривую распределения, которая выражала бы лишь суш;ественные черты статистического материала, но не случайности, обусловлен­ ные недостаточным объемом выборки экспериментальных данных.

Под построением теоретической кривой распределения понимается такая обработка статистических данных, когда обеспечивается под­ бор наиболее подходящего теоретического закона распределения, задаваемого либо функцией распределения F(x), либо плотностью распределения Дх).

Для построения теоретической кривой распределения исход­ ный статистический ряд распределения аппроксимируется одной из дифференциальных функций теоретического распределения/(х). При этом выбирается такая функция Дх), которая обеспечивала бы максимальное приближение теоретических данных к эмпиричес­ ким Дх) = /*(х). Для оценки правдоподобия этого приближенного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции Дх).

Наиболее употребительными критериями согласия являются

критерий у^ Пирсона и критерий Колмогорова, Для примера подроб­ но рассмотрим критерий yj" Пирсона.

Критерий х^ Пирсона. Согласно критерию х^ Пирсона в качест­ ве меры расхождения между теоретическим законом распределения и статистическим распределением выбрана величина, определяе­ мая следующим выражением:

35

^2^„.^(PLPII^		(
/=1	Pi

где k^- число интервалов статистического ряда;

р* — статистическая вероятность попадания случайной величины в

интервал;

Р/ — теоретическая вероятность попадания случайной величины X в

/-Й интервал.
Учитывая соотношение	/?/ =—^,	выражение (1.71) после пре-
	п
образований записываем в виде:
X	= Е ' \	/ ^ ' ,	(1.72)

где nil ~ эмпирическое количество значений случайной величины, попа­ дающих в /-Й интервал.

Для того чтобы выяснить, является ли полученное расхождение Х^ случайным за счет ограниченного объема выборки или свиде­ тельствует о наличии существенной разницы между теоретическим и статистическим распределениями, необходимо вычислить веро­ ятность такого расхождения А > х^, т. е. Р(х < А < ©о) вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоре­ тического и статистического распределений А будет не меньше, чем фактическое значение %^ для данной выборки. Величина веро­ ятности расхождения определяется по специальным таблицам при известных значениях г и % .

Число степеней свободы г вычисляется для данного статистиче­ ского ряда распределения как

г^к-1,

(1.73)

где / — число исчисленных статистических характеристик (средняя, дис­ персия и т. д.), использованных при вычислении теоретического распределения.

Если искомая вероятность окажется очень малой, практически меньше 0,1, то выбранное теоретическое распределение следует считать неудачным. При относительно большом значении искомой вероятности теоретическое распределение можно признать не про­ тиворечащим опытным данным.

Следует отметить, что критерий %^ Пирсона применим в тех случаях, когда объем выборки « > 100 и в каждом интервале число наблюдений не менее /«/ > 5.

36

Пример 1.6. Пользуясь критерием у^ Пирсона, подобрать те­ оретический закон распределения дяя часовой выработки автомо­ билей КамАЗ-5511, статистическое распределение которой приве­ дено в табл. 1.4 примера 1.1.

Решение

По форме гистограммы рис. 1.4 можно предположить, что ча­ совая выработка автомобиля подчиняется нормальному закону.

Для оценки числовых характеристик нормального распределе­ ния вычислим:

математическое ожидание

m^^Yu^iPi =4,75-0,07 + 6,25-0,14 + 7,75-0,17 + 9,25-0,17 + /=1

+ 10,75 • 0,15 + 12,25 • 0,14 + 13,75 • 0,11 + 15,25 • 0,05 = 9,7 т; дисперсию

D^ = S(AW;C -^/)Л =(9,7-4,75).0,07 + (9,7~6,25).0,14 +

/=1

+ (9,7 - 7,75) • 0,17 + (9,7 - 9,25) • 0,17 + (9,7 - 10,75) • 0,15 + + (9,7 - 12,25) • 0,14 + (9,7 - 13,75) • 0,11 + (9,7 - 15,25) • 0,05 - 8,48, где Зс/ — значение середины /-го интервала.

Среднее квадратическое отклонение О;, =./Б^ = л/8,483 =2,91.

Коэффициент вариации

(5^ ^2,91

F = ^ = ±1^=.0,3.

"" т^ 9,7

Величина V^ = 0,3 свидетельствует о том, что теоретическое рас­ пределение близко к нормальному закону распределения. Прове­ рим данную гипотезу, воспользовавшись критерием согласия х^-

Определим теоретическую вероятность попадания значений ча­ совой выработки автомобиля в заданные интервалы, используя формулу (1.52)

Pi=F(x,^l)-F{x,^) = Ф\-^^^—^-Ф

GX

где лг/, Х(+1 — границы /-го интервала (табл. 1.4).

37

Затем составим сравнительную таблицу (табл. 1.6) чисел попа­ даний в интервалы /W и соответствующих значений пр^(п = 100).

Таблица 1.6

Сравнительная таблица

Интервал, 4-5,5 5,5-7,0 7,0-8,5 8,5-10 10-11,5 11,5-13,0 13,0-14,5 14,5-16 Ах/, т

Количест­				17
во наблю­	7	14	17		15	14	И	5
дений, ntj
Теорети­
ческое
количест­	5	И	17	21	20	14	8	4
во наблю­
дений, npf

Построим график теоретического распределения и совместим его с гистограммой статистического распределения (рис. 1.11).

Р; 0,06

Рис. 1.11. Распределение часовой выработки автомобиля

Вычислим значение меры расхождения по формуле

2 ^ | ( m r - £ i ) i ^ 5 , 0 1 . /=1 "Pi

38

Определим число степеней свободы

r = y t - / = 8 - 2 = 6 .

По приложению 8 для г = 6 находим следующее:

при ^ = 3,83	Р = 0,7;
при X = 5,35	р = 0,5.

Следовательно, искомая вероятность р при % = 5,01 прибли­ женно равна/? ~ 0,545. Эта вероятность малой не является; поэто­ му гипотезу о том, что часовая выработка автомобиля распределе­ на по нормальному закону, можно считать правдоподобной.

Задачи

1.1.Из двадцати сотрудников малого предприятия пять опозда­ ли к началу рабочего дня.

Определите частоту опозданий сотрудников.

1.2.Автомобилист совершает две попытки с целью преодоле­ ния дорожного препятствия. Вероятность преодоления препятст­ вия при каждой попытке одинакова и равна 0,8.

Найдите вероятность того, что в результате двух попыток пре­ пятствие будет преодолено хотя бы один раз.

1.3.Определите математическое ожидание и моду числа остано­ вок автобуса перед светофорами на маршруте, если случайная ве­ личина X — число остановок — задана следующей таблицей распре­ деления:

	0	1	2	3	4	5
P(Xi)	0,05	0,05	0,2	0,5	0,1	0,1

1.4. Определите среднее квадратическое отклонение числа отка­ зов оборудования, если случайная величина А"— число отказов обо­ рудования — задана следующей таблицей распределения:

^z	0	1	2	3	4	5	6
P(Xi)	0,3	0,1	0,05	0,1	0,2	0,2	0,05	1

1.5.В задаче 1.4 определите коэффициент вариации случайной величины X.

1.6.Постройте гистограмму часовой производительности одно­ го рабочего в течение календарного периода. Объем выборки со­ ставил 200 наблюдений. Вариационный ряд производительности рабочего представлен в следующей таблице:

39