Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

Интервал,	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-9	9-10	10-11
Ах/ (ед.)
Частота, /?/*	0,03	0,10	0,15	0,19	0,24	0,12	0,11	0,06

1.7.По данным задачи 1.6 постройте статистическую функцию распределения часовой производительности рабочего.

1.8.Малое предприятие имеет 16 автомобилей, работающих не­ зависимо друг от друга.

Определите математическое ожидание, дисперсию, среднее ква­ дратическое отклонение числа отказов автомобилей, если вероят­ ность отказа любого из них равна р = 0,3.

1.9. Число проверок предприятия в течение года инспекцией является случайной величиной, имеющей распределение Пуассона.

Определите вероятность того, что на предприятии будет произве­ дена в течение календарного года одна или хотя бы одна проверка, если среднее число проверок на данном временном интервале а = А.

1.10. На предприятии работает 50 станков. Вероятность отказа каждого из них — 0,002. Число отказов станков — случайная вели­ чина, имеющая распределение Пуассона.

Определите вероятность безотказного функционирования всех элементов.

1.11.Поезда метрополитена следуют через 1,5 мин. Какова ве­ роятность того, что время ожидания поезда не превысит 1 мин?

1.12.Средняя часовая выручка магазина В = 100 д. е. Среднее квадратическое отклонение часовой выручки а^ = 25 д. е. Часовая выручка есть случайная величина, подчиненная нормальному зако­ ну распределения.

Определите вероятность получения в течение одного часа вы­ ручки в размере от 80 до 120 д. е.

1.13.Автобусы прибывают на остановку через 6 мин. Какова ве­ роятность того, что время ожидания автобуса не превысит 5 мин?

1.14.Объем продаж товара в течение месяца есть случайная ве­ личина, подчиненная нормальному закону распределения с пара­ метрами X = 500 и а;^. = 120 д. е.

Определите вероятность продажи товара в течение одного меся­ ца на сумму от 480 до 600 д. е.

1.15. На предприятии работает 50 специалистов, вероятность невыхода специалиста на работу по причине болезни равна 0,001. Число заболевших специалистов — случайная величина, имеющая распределение Пуассона.

Определите вероятность выхода на работу всех специалистов. 1.16. Постройте гистограмму часовой торговой выручки {X) ма­

газина в течение календарного периода. Объем выборки составил

40

150 наблюдений. Вариационный ряд торговой выручки представ­ лен в следующей таблице (д. е.):

Интервал, 3-4 (ед.) Axi

Частота, р* 0,03

4-5	5-6	6-7	7-8	8-9	9-10 10-11
0,10	0,15	0,19	0,24	0,12	0,11	0,06

1.17.По данным задачи 1.16 постройте статистическую функ­ цию распределения часовой торговой выручки.

1.18.Пользуясь критерием % Пирсона, подберите теоретичес­ кий закон распределения для часовой производительности рабоче­ го, статистическое распределение которой приведено в задаче 1.6.

1.19.Пользуясь критерием х^ Пирсона, подберите теоретичес­ кий закон распределения для часовой торговой выручки, статисти­ ческое распределение которой приведено в задаче 1.16.

1.20.Предприятие имеет 5 станков по производству камня, ра­ ботающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого из них р = 0,25.

Определите параметры закона биномиального распределения случайной величины — число отказов станков.

1.21. Определите среднее квадратическое отклонение и диспер­ сию числа отказов автомобилей, если случайная величина X — число отказов автомобилей — задана следующей таблицей распре­ деления:

^	0	1	2	3	4	5	6	7
Pi^i)	0,2	0,15	0,15	0,1	0,25	0,04	0,06	0,05

Глава 2

Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов

2 . 1 . Основные понятия марковских процессов

Функция X{t) называется случайной, если ее значение при лю­ бом аргументе / является случайной величиной.

Случайная функция X(t), аргументом которой является время, называется случайным процессом.

41

Марковские процессы являются частным видом случайных про­ цессов. Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процессов хорошо разработан математический ап­ парат, позволяющий решать многие практические задачи; с помо­ щью марковских процессов можно описать (точно или приближен­ но) поведение достаточно сложных систем.

Определение. Случайный процесс, протекающий в ка­ кой-либо системе ^5*, называется марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени /Q вероятность любого состояния системы в будущем (при / > t^ зависит,только от ее состояния в настоящем (при t — tQ)m не зависит от того, когда и каким об­ разом система S пришла в это состояние.

Классификация марковских процессов. Классификация марков­ ских случайных процессов производится в зависимости от непре­ рывности или дискретности множества значений функции X{t) и параметра t.

Различают следующие основные виды марковских случайных процессов:

•с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);

•с непрерывными состояниями и дискретным временем (мар­ ковские последовательности);

•с дискретными состояниями и непрерывным временем (не­ прерывная цепь Маркова);

•с непрерывным состоянием и непрерывным временем.

В данной работе будут рассматриваться только марковские про­ цессы с дискретными состояниями Sy, Si, ..., S^.

Г1)аф состояний. Марковские процессы с дискретными состоя­ ниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого графа состояний (рис. 2.1), где кружками обозначены состояния 5i, ^^2, ... системы S, а стрелками — возможные переходы из состо­ яния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные за­ держки в прежнем состоянии изображают «петлей», т. е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счет­ ным). Пример графа состояний системы S представлен на рис.2.1.

42

Рис. 2.1. Граф состояний системы S

2.2. Марковские цепи

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого про­ цесса моменты /j, t2, ..., когда система S может менять свое состо­ яние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в ка­ честве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время ty 2i номер шага 1,2,...,/:,... Случайный процесс в этом случае ха­ рактеризуется последовательностью состояний 5(0), S(l), S(2), ..., S(k), ..., где S(0) — начальное состояние системы (перед первым шагом); 5(1) - состояние системы после первого шага; S(k) - со­ стояние системы после к-го шага...

Событие {S(k) = Si}, состоящее в том, что сразу после к-то ша­ га система находится в состоянии 5Д/ = 1, 2, ...), является случай­ ным событием. Последовательность состояний 5(0), 5(1), ..., S(k),

... можно рассматривать как последовательность случайных собы­ тий. Такая случайная последовательность событий называется мар­ ковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из лю­ бого состояния 5/ в любое Sj не зависит от того, когда и как систе­ ма пришла в состояние 5/. Начальное-состояние 5(0) может быть заданным заранее или случайным.

Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятнос­ ти Pj(k) того, что после А:-го шага (и до (к + 1)-го) система 5 будет находиться в состоянии 5,(/ =1,2 , ..., п). Очевидно, для любого к

im)^i	(2.1)
1=1

Начальным распределением вероятностей марковской цепи назы­ вается распределение вероятностей состояний в начале процесса:

Л(0), />2(0), ..., Л(0), ..., Рп(01

(2.2)

43

в частном случае, если начальное состояние системы S в точ­ ности известно 3(0) = Sj, то начальная вероятность РДО) = 1, а все остальные равны нулю.

Вероятностью перехода (переходной вероятностью) на к-м шаге из состояния 5/ в состояние Sj называется условная вероятность то­ го, что система S после к-го шага окажется в состоянии Sj при ус­ ловии, что непосредственно перед этим (после к — 1 шага) она на­ ходилась в состоянии 5/.

Поскольку система может пребывать в одном из п состояний, то для каждого момента времени / необходимо задать п вероятно­ стей перехода P^y, которые удобно представить в виде следующей

матрицы:
	Рп	Р\п
РЦ	Рц	Рщ
Ы Рп	Рп	(2.3)

fn\ Гп1

где Pij вероятность перехода за один шаг из состояния S^ в состояние Sj\ вероятность задержки системы в состоянии iS/.

Матрица (2.3) называется переходной или матрицей переходных вероятностей.

Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова назы­ вается однородной.

Переходные вероятности однородной марковской цепи Р^- об­ разуют квадратную матрицу размера п х п. Отметим некоторые ее особенности:

1.Каждая строка характеризует выбранное состояние системы,

аее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из /-го) состояния, в том числе и переход в самое себя.

2.Элементы столбцов показывают вероятности всех возмож­ ных переходов системы за один шаг в заданное (/-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец — в состояние).

3.Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:

44

(2.4)

У=1

4. По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Рц того, что система не выйдет из состояния 5у, а останется в нем.

Если для однородной марковской цепи заданы начальное рас­ пределение вероятностей (2.2) и матрица переходных вероятностей

ЦР^Ц (2.3), то вероятности состояний системы P^ik) (/ = 1,л;у		=1,л)
определяются по рекуррентной формуле:
Piik)^ S Pj{k-\)Pji,	(/ = !,«; у = !,«).	(2.5)
у=1

Пример 2.1. Рассмотрим процесс функционирования систе­ мы автомобиля. Пусть автомобиль (система) в течение одной сме­ ны (суток) может находиться в одном из двух состояний: исправ­ ном (Sx) и неисправном (52). Граф состояний системы представлен на рис. 2.2.

= 0.2

Pii=0,8 as> Х50 22 = 0.1

P21 = 0,9

Рис. 2.2. Граф состояний автомобиля

В результате проведения массовых наблюдений за работой ав­ томобиля составлена следующая матрица вероятностей перехода:

		0,8	0,2	(2.6)
		^ • 1 1 =
		0,9 0,1
где Pxi = 0,8	—	вероятность того, что автомобиль останется в исправном
Pi2 = 0,2		состоянии;		«испра­
	— вероятность перехода автомобиля из состояния
Рц = 0,9	—	вен» в состояние «неисправен»;
		вероятность перехода автомобиля из состояния «неиспра­
/^22 = 0,1	—	вен» в состояние «исправен»;
		вероятность того, что автомобиль останется в состоянии
		«неисправен».

Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан

Р(0) = о], т.е. Л(0) = 0 и Р2(0) = 1.

45

Требуется определить вероятности состояний автомобиля через трое суток.

Используя матрицу переходных вероятностей, определим веро­ ятности состояний Pi{k) после первого шага (после первых суток):

Pi(l) = PI(0)PH + Р2Ф)Р2х = О . 0,8 + 1 . 0,9 = 0,9; Р2(1) = Л(0)Л2 + ^2(0)^22 = о • 0,2 + 1 . 0,1 = 0,1.

Вероятности состояний после второго шага (после вторых су­ ток) таковы:

/>i(2) = Pi(l)/>H + ^2(1)^21 = 0,9 . 0,8 + 0,1 . 0,9 = 0,81; Р2(2) = Л(1)Л2 + ^2(1)^22 = 0,9 • 0,2 + 0,1 . 0,1 = 0,19.

Вероятности состояний после третьего шага (после третьих су­ ток) равны

Pi(3) = Л(2)Л1 + ^2(2)/'21 = 0,81 • 0,8 + 0,19 • 0,9 = 0,819; ^2(3) = Л(2)Л2 + ^2(2)/'22 = 0,81 . 0,2 + 0,19 • 0,1 = 0,181.

Таким образом, после третьих суток автомобиль будет нахо­ диться в исправном состоянии с вероятностью 0,819 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,181.

Пример 2.2. В процессе эксплуатации ЭВМ может рассматри­ ваться как физическая система 5, которая в результате проверки может оказаться в одном из следующих состояний:

Si - ЭВМ полностью исправна;

5*2 - ЭВМ имеет неисправности в оперативной памяти, при ко­ торых она может решать задачи;

15*3 — ЭВМ имеет существенные неисправности и может решать ограниченный класс задач;

^4 — ЭВМ полностью вышла из строя.

В начальный момент времени ЭВМ полностью исправна (со­ стояние i^i). Проверка ЭВМ производится в фиксированные мо­ менты времени ti, ti, ty Процесс, протекающий в системе S, может рассматриваться как однородная марковская цепь с тремя шагами (первая, вторая, третья проверки ЭВМ). Матрица переходных веро­ ятностей имеет вид:

0,3	0,4	0,1	0,2
v> О	О	0,4	0,6
О	0,2	0,5	0,3
О	О	О	1,0

46

Определите вероятности состояний ЭВМ после трех проверок.

Решение

Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 2.3. Против каж­ дой стрелки проставлена соответствующая вероятность перехода. Начальные вероятности состояний Р](0) = 1; Р2(0) = Р^ф) = Р^(0) = 0.

Рис. 2.3. Граф состояний ЭВМ

По формуле (2.5), учитывая в сумме вероятностей только те со­ стояния, из которых возможен непосредственный переход в данное состояние, находим:

Pi(l) = Pi(0)Pu = 1 • 0,3 = 0,3

P2(l) = Pi(0)Pi2 = 1 • 0,4 = 0,4

Pjd) = Р,(0)Лз = 1 • 0,1 = 0,1

P4(l) = Pi(0)Pi4 = 1 • 0,2 = 0,2

/',(2) = Pi(l)Pu = 0,3 • 0,3 = 0,09;

/'2(2) = ^1(1)^12 + P2(nPi2- 0,3 • 0,4 + 0,4 • 0,2 = 0,20; Рз(2) = Л(1)Лз + ^2(1)^23 + Л(1)^зз= 0.27;

/'4(2) = /'i(l)/',4 + P2(l)P24 + ^3(1)^34 + ^4(1)^44= 0.44;

Pl(3) = /'i(2)Pii = 0,09 • 0,3 = 0,027;

^2(3) = Pi(2)Pn + /'2(2)/'22= 0,09 • 0,4 + 0,20 • 0,2 = 0,076; /'з(З) = /',(2)P,3 + /'2(2)P23 + ^'з(2)Рзз= 0,217;

/^4(3) = ^(2)^4 + P2(2)P24 + ^(2)^^34 + ^(2)^44 = 0,680.

Итак, вероятности состояний ЭВМ после трех проверок следу­ ющие: ^1(3) = 0,027; ^2(3) = 0,076; />з(3) = 0,217; ^4(3) = 0,680.

47

2.3. Непрерывные цепи Маркова

Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние происхо­ дит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.

В экономике часто встречаются ситуации, которые указать за­ ранее невозможно. Например, любая деталь или агрегат автомоби­ ля могут выйти из строя в любой, непредсказуемый заранее мо­ мент времени. Для описания таких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппарат непрерывной цепи Маркова.

Пусть система характеризуется п состояниями SQ, S^, SI, ..., S^, a переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим через РДО вероятность того, что в мо­ мент времени t система S будет находиться в состоянии 5/ (/ = 0,1,

..., п). Требуется определить для любого t вероятности состояний Ро(0, Л(0, ..., ^л(0. Очевидно, что

Для процесса с непрерывным временем вместо переходных ве­ роятностей Pij рассматриваются плотности вероятностей перехода Xip представляющие собой предел отношения вероятности перехо­ да системы за время А/ из состояния 5/ в состояние Sj к длине про­ межутка А/:

Xij(t)= lim		\ ^ \	(2.7)
•^	Аг->0	А/

где Pij{t\ At) — вероятность того, что система, пребывавшая в момент t в со­ стоянии 5/, за время At перейдет из него в состояние Sj (при этом всегда / ^у).

Если Л^y = const, то процесс называется однородным, если плот­ ность вероятности зависит от времени Ху = Л^y(/), то - неоднородным.

При рассмотрении непрерывных марковских процессов приня­ то представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий'. Пото­ ком событий называется последовательность однородных событий,

'Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей.

-М.: Радио и связь, 1983.

48

следующих одно за другим через какие-то, вообще говоря, случай­ ные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интер­ претируется как интенсивность Х^ соответствующих потоков собы­ тий. Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет марковским.

При изучении марковских случайных процессов с дискретны­ ми состояниями и непрерывным временем в фафе состояний над стрелками, ведущими из состояния Si в Sp проставляют соответст­ вующие интенсивности Я^y. Такой граф состояний называют разме­ ченным.

Пусть система S имеет конечное число состояний S^, ^ j , ..., S^. Случайный процесс, протекающий в этой системе, описывается вероятностями состояний P^{t), P\(t), ... Р^(0, где Р/(0 — вероят­ ность того, что система S в момент / находится в состоянии 5/. Для любого t

iPi(t)=h

Вероятности состояний РДО находят путем решения системы

дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид

^=i^jiPj(t)-Pi(t)iXy,		(2.8)
dt	y=i ' -	y-i

где / = 0,1, ..., n.

Величина Xj.Pi(t) называется потоком вероятности перехода из состояния 5/ в Sp причем интенсивность потоков Ху может зависеть от времени или быть постоянной.

Уравнения (2.8) составляют по размеченному фафу состояний системы, пользуясь следующим мнемоническим правилом:

производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (2.8), нужно задать начальное распределение вероятностей PQ(0), Pi(0),..., РДО), ..., P^iO). Для решения применяют численные методы.

Финальные вероятности состояний

Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно дол­ го, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей Pj(t) при / —> оо. В некоторых случаях существуют финальные (пре­ дельные) вероятности состояний:

49