Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

интенсивность отказов меняется сравнительно медленно, в таком случае закон распределения событий можно приблизительно счи­ тать показательным и для описания процесса эксплуатации авто­ мобиля использовать марковскую схему.

Характер остальных потоков событий, связанных с процессом работы группы автомобилей, не изменяется.

Таким образом, все средние потоки, переводящие условный ав­ томобиль из состояния в состояние, либо пуассоновские, либо сво­ дятся к ним путем рассмотрения процесса эксплуатации на малых интервалах пробега (1—2 тыс. км) и корректировки исходного по­ тока отказов деталей для исключения последействия. Это позволя­ ет использовать метод динамики средних для описания процесса эксплуатации группы автомобилей.

В табл. 2.1 приведены формулы для расчета интенсивностей пе­ рехода Xij и \iji.

			Таблица 2.1
	Интенсивности перехода Х^ и ц^ для расчета
	комплексных показателей надежности автомобилей МАЗ
	Интенсивность	Формула, принятая	Примечание
		в расчете
	Исправен —	к	Плотность распределе­
	капитальный ремонт		ния наработки до к-го
			капитального ремонта ;

1 автомобиля — ф^(£)

Исправен - проходит техническое обслуживание (ТО-2)

fjQi — плотность распре­ деления наработки до hTO ТО-2;

^то "" средняя перио­ дичность ТО-2

	Исправен —
	находится в текущем	^оз(^)=Есо^(1)
	ремонте	/=1
	Исправен —	Ло4(^:) = р(1)
	простаивает по орга­
		Xo,{L) = (4Г„рГ'
	низационным причи­
	нам (без водителя
	и т. п.)

(Of{L) - параметр пото­ ка отказов / детали по интервалам пробега L; F — число ДЛН автомо­ биля, шт.

ГЦР — среднее время между простоями;

If. — среднесуточный пробег, тыс. км;

70

	Интенсивность		Формула, принятая
			в расчете
	Исправен —	ремонт
	капитальный
	агрегата		л=1

Исправен —

списание агрегата

л=1

Продолжение

Примечание

cOn^ ^^ -	параметр пото­
ка отказов автомобиля,
связанных с капиталь­
ным ремонтом его агре­
гатов	1

Шп" ^^(L) - параметр по­ тока отказов автомоби­ ля, связанных со списа­ нием агрегатов;

N — число агрегатов

Исправен — не работа­ ет (праздничные и вы­ ходные дни)

Исправен — списание автомобиля

Капитальный ремонт

— исправен

ТО-2 - исправен

Находится в текущем ремонте — исправен

Простаивает по орга­ низационным причи­ нам — исправен

Капитальный ремонт агрегата — исправен

Хо7(^) = 9Щ ,

Хо7(^) = (/,.Геь.хГ'

Яо8(Х) =

=UL)/[\ - /;(Z)]

L > 270 тыс. км

^AlO = (ТкрГ'

^вых ~ среднее время между простоями

Fc(L),fc(L) - функция и плотность распределе­ ния наработки до спи­ сания автомобиля; при­ нято распределение Рэлея с параметрами

LQ = 270 тыс. км

Г^р — средняя продол­ жительность капиталь­ ного ремонта

^A2o = (ТгоУ'

[i^o(L) = r](L)

li,o(L) = (тУ

^l40 = (ТпУ'

^so(L) = (TJiy'

TjQ — средняя продол­ жительность ТО-2

j 7\ — средняя продолжи­ тельность текущего ре­ монта

Гп — средняя продолжи­ тельность простоя

Г^р ~ средняя продол­ жительность простоя при снятии агрегата

71

Интенсивность

Списание агрегата — исправен

Исправен, не работает (праздничные и вы-

'ходные дни) — испра­ вен, работает

		Продолжение
	Формула, принятая	Примечание
	в расчете
	Цбо(^) = {T,Y	Т^ - среднее время за­
		мены афегата
	М ^ ) = (Т^прГ'	Гпр — средняя продол­
		жительность простоя

Значения параметров модели (2.30) Аоз(^), ^05(^)' ^об(^) могут быть определены двумя способами. Согласно первому способу по­ лученные значения параметров потока отказов автомобиля, связан­ ных с его текущим ремонтом, капитальным ремонтом и списанием его агрегатов, аппроксимируются экспоненциальными зависимос­ тями следующего вида:

Ло/(1) = exp(flfo + й| . X + ... +flf^. УР),

где л: — пробег автомобиля с начала эксплуатации, тыс. км; / — номер состояния, в котором находится автомобиль, / = 3,5,6.

Ошибка аппроксимации при небольших п бывает высокой и может достигать 10—20%. Это один из главных недостатков перво­ го способа, существенно снижающий точность последующих рас­ четов годового пробега. Указанный недостаток можно исключить.

Согласно второму способу параметры Хоз, А,о5 ^об задаются дис­ кретно для каждого интервала пробега и являются постоянными величинами на каждом заданном интервале пробега, составляю­ щем 10—20 тыс. км, но значения этих параметров меняются в тече­ ние пробега с начала эксплуатации автомобиля скачкообразно от одного интервала к другому.

Метод динамики средних может быть использован и для опре­ деления коэффициента выпуска автопарка, состоящего из автомо­ билей разных моделей.

Указанная задача может быть решена двумя способами. Первый способ состоит в рассмотрении изолированного процесса эксплуа­ тации совокупности автомобилей одной модели.

Второй способ предполагает рассмотрение процесса функцио­ нирования моделей автомобилей многомарочного парка в целом. В этом случае без принципиальных изменений может быть использо­ ван изложенный выше способ, разница будет только в том, что

72

число дифференциальных уравнений увеличится в п раз, где п — число моделей подвижного состава, обслуживаемых на одних и тех же постах ТО и ТР. Использование метода динамики средних для определения коэффициентов технической готовности и выпуска автомобилей моделей разномарочного парка' позволяет учесть ог­ раниченное количество постов для проведения ТО и ТР.

При определении коэффициентов технической готовности и выпуска автомобилей разномарочного парка необходимо разбить все модели подвижного состава, эксплуатирующегося в АТП, на группы, включающие автомобили тех моделей, которые обслужи­ ваются на одних и тех же постах ТО-2 и ТР. Для каждой фуппы мо­ делей подвижного состава строится единая система дифференци­ альных уравнений, описывающая функционирование соответству­ ющей группы автомобилей'.

Задачи

2.1. в моменты времени /j, t2, /3 проводится осмотр ЭВМ. Воз­ можны следующие состояния ЭВМ:

SQ — полностью исправна;

Si — незначительные неисправности, которые позволяют экс­ плуатировать ЭВМ;

Si — существенные неисправности, дающие возможность ре­ шать ограниченное число задач;

S^ — ЭВМ полностью вышла из строя. Матрица переходных вероятностей имеет вид

ш	0,5	0,3	0,2	О
	О	0,4	0,4	0,2
	О	О	0,3	0,7
	0	0	0	1

Постройте граф состояний. Найдите вероятности состояний ЭВМ после одного, двух, трех осмотров, если вначале (при t = 0) ЭВМ была полностью исправна.

2.2. Магазин продает две марки автомобилей А и В. Опыт экс­ плуатации этих марок автомобилей свидетельствует о том, что для

* Примеры расчета коэффициента выпуска и коэффициента технической готовности для различных марок подвижного состава см.: Бережной В. И., Бережная Е. В. Методы и модели управления материальными потоками микрологистической системы автопредприятия. — Ставрополь: Интеллектсервис, 1996.

73

них имеют место различные матрицы переходных вероятностей, соответствующие состояниям: работает хорошо (состояние 1) и тре­ бует ремонта (состояние 2):

АР lh'9 ^А-

автомобиль марки А ^У4 = L ^		^ . h
автомобиль марки В Р^ =	0,8	0,2
	0,7	0,3

Элементы матрицы перехода определены на годовой период эксплуатации автомобиля.

Требуется:

1)найти вероятности состояний для каждой марки автомобиля после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии авто­ мобиль «работает хорошо»;

2)определить марку автомобиля, являющуюся более предпо­ чтительной для приобретения в личное пользование.

2.3.Система 5-автомобиль может находиться в одном из пяти возможных состояний:

исправен, работает;

неисправен, ожидает осмотра; осматривается; ремонтируется; списывается.

Постройте граф состояний системы.

2.4. Организация по прокату автомобилей в городе выдает ав­ томобили напрокат в трех пунктах города: А, В, С. Клиенты могут возвращать автомобили в любой из трех пунктов. Анализ процесса возвращения автомобилей из проката в течение года показал, что клиенты возвращают автомобили в пункты А, В, С в соответствии со следующими вероятностями:

	Пункты выдачи		Пункты приема автомобилей
		А	В	С
	А	0,8	0,2	0
	В	0,2	0	0,8
	С	0,2	0,2	0,6

Требуется:

1) в предположении, что число клиентов в городе не изменяет­ ся, найти процентное распределение клиентов, возвращающих ав­ томобили по станциям проката к концу года, если в начале года оно было равномерным;

74

2)найти вероятности состояний в установившемся режиме;

3)определить пункт проката, у которого более целесообразно строить станцию по ремонту автомобилей.

2.5. Рассматривается процесс накопления терминов в динами­ ческом словаре (тезаурусе) при функционировании автоматизиро­ ванного банка данных (АБД). Сущность процесса в том, что терми­ ны заносятся в словарь по мере их появления в той информации, которая вводится в АБД. Например, в АБД автоматизированной системы управления производством (АСУП) могут в качестве тер­ минов заноситься наименования организаций, с которыми данное предприятие поддерживает производственные отношения. Дина­ мический словарь наимен9ваний таких организаций будет накап­ ливаться в АБД АСУП по мере появления этих наименований в единицах информации, вводимых в АБД.

В каждой единице информации, поступающей в АБД, в сред­ нем встречается х терминов словаря, ^ интенсивность поступле­ ния единиц информации в АБД равна 'Щ). Следовательно, интен­ сивность потока терминов словаря в информации, поступающей в АБД, будет Л(0 = x\{i). Предполагается, что поток терминов сло­ варя является пуассоновским. Число терминов словаря п является конечным и неслучайным, хотя, возможно, и неизвестным нам за­ ранее. Все термины словаря могут находиться в единице информа­ ции с одинаковой вероятностью. В словарь заносятся, естественно, лишь те термины, которые до сих пор еще не встречались в едини­ цах информации.

Требуется найти математическое ожидание и дисперсию числа терминов, накопленных в динамическом словаре^.

2.6. Водитель такси обнаружил, что если он находится в городе А, то в среднем в 8 случаях из 10 он везет следующего пассажира в город Б, в остальных случаях будет поездка по городу А. Если же он находится в городе Б, то в среднем в 4 случаях из 10 он везет следующего пассажира в город А, в остальных же случаях будет по­ ездка по городу Б.

Требуется\

1)перечислить возможные состояния процесса и построить граф состояний;

2)записать матрицу переходных вероятностей;

3)найти вероятности состояний после двух шагов процесса, если:

а) в начальном состоянии водитель находится в городе А; б) в начальном состоянии водитель находится в городе Б;

4) найти вероятности состояний в установившемся режиме.

' Вентцель Е. С, Овчаров Л, Л. Прикладные задачи теории вероятнос­ тей. - М.: Радио и связь, 1983.

75

2.7. Система S представляет собой техническое устройство, со­ стоящее из т узлов и время от времени (в моменты Z], /2, •-, ^к) под­ вергающееся профилактическому осмотру и ремонту После каждо­ го шага (момента осмотра и ремонта) система может оказаться в одном из следующих состояний:

SQ — все узлы исправны (ни один не заменялся новым); Si — один узел заменен новым, остальные исправны; 5*2 — два узла заменены новыми, остальные исправны;

Sj — i узлов (/ < т) заменены новыми, остальные исправны; Sf^ — все т узлов заменены новыми.

Суммарный поток моментов окончания осмотров для всех уз­ лов — пуассоновский с интенсивностью А = 4. Вероятность того, что в момент профилактики узел придется заменить новым, равна Р = 0,4.

Рассматривая процесс профилактического осмотра и ремонта (замены) как марковский процесс размножения, вычислите вероят­ ности состояний системы (S) в стационарном режиме (для т = 3), если в начальный момент времени все узлы исправны'.

2.8. Техническое устройство имеет два возможных состояния: Si - исправно, работает;

S2 — неисправно, ремонтируется.

Матрица переходных вероятностей имеет вид:

lU 1	I 0,7	0,3 I
" '-'"	I 0,8	0,21*

Постройте граф состояний. Найдите вероятности состояний после третьего шага и в установившемся режиме, если в начальном состоянии техническое устройство исправно.

2.9.Система S состоит из двух узлов — I и II, каждый из кото­ рых может в ходе работы системы отказать (выйти из строя).

Перечислите возможные состояния системы и постройте граф состояний для двух случаев:

1) ремонт узлов в процессе работы системы не производится (чистый процесс гибели системы);

2) отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться.

2.10.В городе издаются три журнала: Ci, С2, С3, и читатели вы­ писывают только один из них. Пусть в среднем читатели стремят­ ся поменять журнал, т. е. подписаться на другой не более одного раза в год, и вероятности таких изменений постоянны. Результаты маркетинговых исследований спроса читателей на журналы дали следующее процентное соотношение:

'Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятнос­ тей. - М.: Радио и связь, 1983.

76

80% читателей Ci подписываются на Ci',

15% читателей Ci подписываются на С3;

8% читателей С^ подписываются на Cj.

Требуется:

1)записать матрицу переходных вероятностей для средних го­ довых изменений;

2)предположить, что общее число подписчиков в городе посто­ янно, и определить, какая доля из их числа будет подписы­ ваться на указанные журналы через два года, если по состо­ янию на 1 января текущего года каждый журнал имел одина­ ковое число подписчиков;

3)найти вероятности состояний в установившемся режиме и определить журнал, который будет пользоваться наиболь­ шим спросом у читателей.

2.11. Техническое устройство состоит из двух узлов и может на­ ходиться в одном из следующих состояний:

оба узла исправны, работают; неисправен только первый узел; неисправен только второй узел; неисправны оба узла.

Вероятность выхода из строя (отказов) после месячной эксплу­ атации для первого узла - Pj = 0,4; для второго узла - Pi^ 0,3, а вероятность совместного выхода их из строя - Pj 2 = 0,1. В исход­ ном состоянии оба узла исправны, работают.

Запишите матрицу переходных вероятностей и найдите вероят­ ности состояний после двухмесячной эксплуатации.

2.12. Размеченный граф состояний системы S имеет вид, пока­ занный на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Граф состояний

77

Запишите систему дифференциальных уравнений Колмогорова и начальные условия для решения системы, если известно, что в начальный момент система находится в состоянии Si,

2.13. Экономическая система S имеет возможные состояния: Si, S2, *Уз, ^4. Размеченный граф состояний системы с указанием численных значений интенсивностеи перехода показан на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Граф состояний системы

Вычислите вероятности состояний в стационарном режиме. 2.14. Размеченный граф состояний экономической системы с

указанием численных значений интенсивностеи перехода системы показан на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Граф состояний системы

Напишите алгебраические уравнения для вероятностей состоя­ ний в установившемся режиме. Определите финальные вероятнос­ ти состояний системы.

2.15. Граф состояний системы имеет вид, приведенный на рис. 2.17.

^12	'^31
	^23

Рис. 2.17. Граф состояний системы

78

Напишите алгебраические уравнения для вероятностей состо­ яний в стационарном режиме и найдите выражение для этих ве­ роятностей.

2.16. Найдите вероятности состояний в установившемся режи­ ме для процесса гибели и размножения, граф которого представлен на рис. 2.18.

1

©^='©^4==<5>42 ^^ 2 - ^

Рис. 2.18. Граф состояний системы

2.17. На автотранспортном предприятии (АТП) эксплуатируют­ ся модели автомобилей одной марки. Интенсивность поступления на АТП новых автомобилей Л = 5 авт/год. Средний срок службы автомобиля до списания Г^п = 7 лет. Величина Т^п распределена —

1 по показательному закону с параметром |i = -=r-.

Найдите финальные вероятности и математическое ожидание числа эксплуатируемых автомобилей в стационарном режиме, если число автомобилей в АТП не ограничено.

2.18.В задаче 2.17 число эксплуатируемых автомобилей ограни­ чено, « = 60 единиц.

Найдите финальные вероятности и математическое ожидание числа эксплуатируемых автомобилей в стационарном режиме на АТП.

2.19.Найдите вероятности состояний в стационарном режиме для процесса гибели и размножения, граф которого показан на рис. 2.19.

Рис. 2.19. Граф состояний системы

2.20. Система учета на предприятии использует компьютерную сеть, в состав которой входит л = 6 персональных компьютеров (ПК). Ежегодно обслуживающий персонал проводит профилакти­ ческий осмотр каждого ПК. Суммарный поток моментов оконча­ ния профилактических осмотров для всего участвующего персона­ ла ~ пуассоновский с интенсивностью X = 0,5 ч~ (число событий в единицу времени). После окончания осмотра с вероятностью Р = 0,86 устанавливается, что ПК — работоспособный. Если ПК

79