3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения

Для неоднородного уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентамии неоднородностьюбыл изложен метод вычисления частного решенияназываемый методом вариации постоянных. После того как найдено частное решение неоднородного уравнения, его общее решение вычисляется по формулегдеобщее решение соответствующего однородного уравненияДадим еще один способ вычисления частного решения неоднородного уравнения (11), который применяется и в случае, когда коэффициенты этого уравнения переменные.

Пусть в уравнении (11) все коэффициентыи правая частьнепрерывны на отрезкеи пусть– решение соответствующего однородного уравненияудовлетворяющее начальным условиям

при любом фиксированном значении параметра . Тогда частное решение неоднородного уравнения (21.22) с нулевыми начальными даннымиможет быть записано в виде

Доказательство.Найдем производныефункции (13), пользуясь формулой

С учетом начальных условий (12), будем иметь

Следовательно,

так как Таким образом, функция (13) удовлетворяет неоднородному уравнению. Из выписанных выше равенств для производных функции (13) следует, что она удовлетворяет нулевым начальным условиям. Утверждениедоказано.

Пример 3.Найти общее решение неоднородного уравнения

где – постоянная, а–- произвольная непрерывная на отрезкефункция.

Решение.Построим сначала общее решение соответствующего однородного уравненияТак как его характеристическое уравнениеимеет два различных комплексно-сопряженных корнято его общее решение имеет вид

Подчиним это решение начальным условиям

Будем иметь

Итак, , значит

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (14) имеет вид

а общее решение этого уравнения запишется в форме

Перейдем теперь к вычислению частного решения неоднородного уравнения (14) с помощью так называемого метода подбора. Оговоримся сразу же, что он применим для уравнений (11) с постоянными коэффициентамии со специальной правой частью вида

где и– постоянные, аи–- многочлены степениисоответственно. Заметим, что функции вида

где – многочлены, а– постоянные (в общем случае комплексные), называются квазиполиномами(или квазимногочленами). Если выразить в (15)ичерез экспоненты (см. предыдущую лекцию), то (15) можно представить в виде квазиполинома с комплексными коэффициентами. Поэтому функцию (15) будем также называть квазимногочленом. При этом будем считать, что числаидействительные, а числобудем называть спектральным значением квазиполинома (15). Это число играет важную роль при построении частного решения неоднородного уравнения (11).

Алгоритм 2 (метода подбора)

Пусть требуется найти частное решение уравнения

с постоянными коэффициентами и с неоднородностью, являющейся квазимногочленом (15). Для этого надо сделать следующее:

1) составить спектральное значение правой частиуравнения (16);

2) если спектральное значение не является корнем характеристического уравнения

то частное решение следует искать в виде

где и–- многочлены (с неопределенными коэффициентами) степени;

3) если спектральное значение является корнем кратностихаpактеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

где и– многочлены (с неопределенными коэффициентами) степени;

4) для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить функцию (17) (или (18)) в уравнение (16), сократить его обе части на экспоненту и произвести приравнивание коэффициентов в обеих частях при одинаковыха затем решить полученную линейную систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

Заметим, что если спектральное значение является корнем характеристического уравнения, то говорят, что в уравнении (16) имеет место резонанс.

Мы не будем заниматься обоснованием этого алгоритма. Такое обоснование можно найти во многих учебных пособиях по обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., например, [1]). Покажем, как он работает на практике. Отметим, что при применении алгоритма 2 часто используется следующий принцип суперпозиции.

Принцип суперпозиции.Если правая часть уравнения

является линейной комбинацией непрерывных на отрезке функций( т.е. еслито линейная комбинациярешений уравненийявляется решением уравнения (19) (здесь числамогут быть и комплексными).

Действительно, в силу линейности оператора из тождеств

вытекает тождество

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.Найти общее решение уравнения

Решение. Так как в правой части (20) нет, тои поскольку в правой части нет синусов и косинусов, то. Значит, спектральное значение правой части равноХарактеристическое уравнениеимеет два различных чисто мнимых корняи спектральное значениеoтличается от них, поэтому частное решение неоднородного уравнения (20) следует искать в виде

(т.е. в таком же виде, что и правая часть уравнения (20)). Для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить (21) в (20) и произвести приравнивание коэффициентов при oдинаковых степенях. Вычислим сначала производные от многочлена (21):Значит,Приравнивание коэффициентов дает:

Подставляя найденные коэффициенты в (21), найдем окончательно частное решение неоднородного уравнения (20): Поскольку корнихарактеристического уравненияразличны, то общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вида значит общее решение исходного уравнения (20) запишется в форме

Пример 5.Найти общее решение уравнения

Решение.Найти общее решение соответствующего однородного уравненияне составляет труда, так как здесь корни характеристического уравненияразличны:Оно имеет видЗаймемся вычислением частного решения неоднородного уравнения (22). Поскольку в правой части нет экспонентыи синусов и косинусов, то спектральное значениеОно является корнем характеристического уравнения кратностиСогласно п.3 алгоритма 2 частное решение неоднородного уравнения (22) следует искать в виде

Вычисляя производные функции (23) и подставляя ее в (22), будем иметьПриравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степеняхполучаем

Подставляя ив (23), найдем частное решение уравнения (22) в видеа значит, общее решение этого уравнения запишется в форме

Пример 6. Решить уравнение

Решение.Спектральное значение правой частиравно, так как, а синусы и косинусы отсутствуют. Характеристическое уравнениеимеет два различных действительных корня:и. Так как спектральное значениене является коpнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (24) следует искать в виде (см. п.2 алгоритма 2):

Для составления уравнений относительно неопределенных коэффициентов и, найдем производные функции (25):

Следовательно,

Сокращая здесь экспоненту, получаем тождество

Приpавнивание коэффициентов дает:

Подставляя ,ив (25), получаем частное решение в видеПри этом общее решение соответствующего однородного yравнения строится по корнямихарактеристического уравнения следующим образом:а значит, общее решение неоднoродного уравнения (24) запишется в виде

Пример 7.Построить общее решение уравнения

и найти его интегральную кривую, удовлетворяющую начальным условиям

Решение. Здесь правая часть не является квазиполиномом вида (17), поэтому сразу воспользоваться алгоритмом 2 нельзя. Разобьем уравнение (26) на два уравнения

к которым можно применить метод подбора. Если будут найдены частные решения иэтих уравнений, то, согласно принципу суперпозиции, частное решение исходного уравнения (26) будет иметь вид

Займемся поиском частного решения уравнения (27). Спектральное значение его правой части равнотак как в (27) отсутствуют синусы и косинусы. Характеристическое уравнениеимеет два различных корняСпектральное значение не совпадает с ними, и поэтому частное решение уравнения (27) следует искать в виде (см. п.2 алгоритма 21)Подставляя это в уравнение (27), имеемЗначит,

Спектральное значение правой части уравнения (28) равно Оно является корнем кратностихарактеристического уравнения, поэтому частное решение уравнения (28) следует искать в виде (см. п.3 алгоритма 2):Вычисляя производные

и подставляя их в уравнение (28), получаем тождество

или Приравнивая здесь коэффициенты прии, получаем

Значит, частное решение уравнения (28) имеет вид Согласно принципу суперпозиции частное решение уравнения (26) является суммой частных решенийит.е.

Пo корням характеристического уравнениястроим общее решение соответстующего однородного уравненияи общее решение исходного неоднородного уравнения (28):

Найдем теперь интегральную кривую, удовлетворяющую начальным условиям Дифференцируя (29), найдем, что

Подчиняя (29) и (30) начальным условиям будем иметь

Cледовательно, искомая интегральная кривая задаётся уравнением

_{Замечание.}Частное решение уравнення (26) можно вычислить с помощью интеграла (см.):