- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
- •1. Разложение функции в ряд Лорана
- •2. Нули аналитической функции и их связь с полюсами
- •3. Вычеты. Теорема Коши о вычетах
- •Лекция 11. Вычисление вычетов и применение теории вычетов для вычисления контурных и несобственных интегралов
- •1. Вычисление вычетов
- •2. Вычисление интегралов
- •Лекция 12. Преобразование Лапласа и его свойства. Применение к дифференциальным уравнениям
- •Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия
- •1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость
- •2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- •Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
- •1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
- •3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы
- •4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
- •Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть функция дифференцируема в точкеиПри отображениивекторисходящий из точкипереходит в
Рис. 8
бесконечно малый вектор исходящий из точкиа гладкая криваяпереходит в гладкую кривую(см. рис. 8). Посколькуто выполняются одновременно следующие соотношения:
Отсюда следует, что с точностью до выполняются равенства
Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ):
а) модуль равен коэффициенту растяжения (сжатия) бесконечно малого вектораисходящего из точкипри отображении
б) аргумент равен углу поворотабесконечно малого вектораисходящего из точкипри отображении
Эти утверждения верны для произвольного бесконечно малого вектора исходящего из точкипричем утверждение б) будет верно для любых гладких кривыхисходящих из точки(в этом случае векторкасается кривойв точке). Еслиидве гладкие кривые, исходящие из точкито из утверждения б) следует, что при отображенииони развернутся на один и тот же угол, т.е. угол между кривымиипри отображениисохраняется. Более того, сохраняется и направление этого угла. Исходя из сказанного, вводят следующее понятие.
Определение 4. Отображение окрестноститочкина окрестностьточкиназываетсяконформным, если оно обладает постоянством растяжения (сжатия) бесконечно малых элементов и сохранением углов и их направлением между любыми двумя гладкими кривымиОтображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке области и если функцияявляется аналитической и однолистной в области.
Теорема 2. Пусть функция – однолистная и аналитическая в областиив каждой точке области. Тогда отображениебудет конформным в области.
Доказательство этого утверждения вытекает из геометрического смысла производной и ее аргумента. Например, главная ветвь логарифма является конформным отображением области на областьКонформные отображения играют важную роль в прикладных науках. Однако подробное их изучение в нашем курсе не позволяет дефицит времени. Читателю, заинтересованному в более детальном ознакомлении с теорией конформных отображений, рекомендуем книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата ``Функции комплексного переменного и некоторые их приложения'' (ГИФМЛ, Москва, 1959) .
======================================================
Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
Везде ниже, если не оговорено противное, функция предполагается однозначной в своей области определения. Пусть в плоскостизадана некоторая ориентированная кривая(начало,конец). Каждой точкеплоскостисоответствует единственное комплексное число(и обратно), поэтому будем отождествлять точкуи соответствующее комплексное числои будем писатьПусть функцияопределена на кривой. Разобъём кривуюна частичные дугиточкамив направлении ориентации кривой:
Возьмём произвольно точку и составим интегральную суммуОбозначимдиаметр разбиения.
Определение 5. Если существует конечный предел интегральных сумм:
и он не зависит от вида разбиения и выбора точек, то его называют интегралом от функциивдоль кривой (дуги)и обозначаютПри этом функциюназываетсяинтегрируемой на кривой.
Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла:
которое вытекает из того, что при ориентации кривой от довекторзаменяется на векторКроме того, интеграл от комплексной функции, очевидно, обладает свойствами линейности и аддитивности, которые мы не выписываем. Следующее утверждение позволяет свести комплексный интеграл к двум действительным криволинейным интегралам.
Теорема 3.Пусть ограниченная дуга кусочно-гладка и лежит вобласти определения функии. Пусть, кроме того,непрерывна на дуге.Тогда имеет место равенство
Доказательство.Преобразуем в интегральной сумме (5) слагаемое:
Тогда интегральная сумма в равенсте (5) примет вид
Здесь действительная часть является интегральной суммой для криволинейного интеграла , а мнимая часть – интегральной суммой для криволинейного интеграла. Так как функциянепрерывна на дугето на этой дуге непрерывны ее действительная частьи мнимая частьпоэтому указанные криволинейные действительные интегралы существуют. Переходя к пределу в равенстве (7) приполучаем равенство (6). Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла.
Теорема 4. Если функция непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной кривой то имеет место неравенство
где – длина дуги.
Из теоремы 3 вытекает также следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть дуга задана параметрически уравнением
причем функция непрерывна на отрезкеи дуга ориентирована по возрастанию параметра (т.е.– начало,конец дуги). Пусть, кроме того, функциянепрерывна на дуге.Тогда имеет место равенство
В качестве примера вычислим имеющий широкое применение в дальнейшей теории интеграл Покажем, что
Имеем
Если тоЕслито
Равенство доказано.