2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл

Сначала дадим понятие решения уравнения (3).

Определение 1. Решением уравнения (3) на отрезке называется такая функция

которая удовлетворяет следующим условиям:

1) функция дифференцируемараз на указанном отрезке;

2) точка при всех

3) имеет место тождество

Например, функция является решением уравненияна всей оситак как имеет место тождество

Начальная задача (задача Коши) для уравнения (1) ставится следующим образом:

и формулируется так: для фиксированной начальной точки найти решениеуравнения (3), график которого (интегральная кривая) проходит через точкуИмеет место следующее утверждение.

Теорема Коши (существования и единственности решения начальной задачи для уравнения высшего порядка).Пусть в уравнении (3) функция и её частные производныенепрерывны в областиТогда какова бы ни была начальная точкалежащая внутри области, существует число такое, что задача Коши (4) с указанной начальной точкой имеет на отрезкерешениеи это решение единственно на указанном отрезке.

Обращаем внимание на достаточный и локальный характер этой теоремы (см. предыдущую лекцию). Так же, как и в случае уравнения первого порядка, здесь вводятся понятия частного и общего решений (и их интегралов).

Определение 2. Частным решением уравнения (3) называется решение какой-нибудь его задачи Коши (4). Общим решением уравнения (3) в области называется функция зависящая отпроизвольных постоянныхудовлетворяю-

щая следующим условиям:

1) при любых допустимых значениях постоянных функцияявляется решением уравнения (1) на некотором отрезке

2) какова бы ни была начальная точка существуют значения постоянныхтакие, что функцияявляется решением задачи Коши (4) с этой начальной точкой.

И, наконец, частный интеграл уравнения (3) есть частное решение этого уравнения, записанное в неявной форме аобщий интеграл суть общее уравнения (3), записанное в неявной форме

Для проверки того, что соотношение является общим интегралом уравнения (3) надо из системы уравнений

исключить произвольные постоянные . Если при этом будет получено дифференциальное уравнение (3) (или эквивалентное ему уравнение), тообщий интеграл этого уравнения. Предлагаем в качестве упражнения проверить, что соотношениеявляется общим интегралом уравнения

3. Уравнения, допускающие понижение порядка

Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение

не содержащее в правой части неизвестную функцию. Оно легко решается последовательным интегрированием:

где произвольные постоянные. Нетрудно доказать так называемую формулу Коши длямерного повторного интеграла:

и, стало быть, записать решение (5) с помощью одномерного интеграла.

а) Уравнение, в котором отсутствуют неизвестная функция и её производные до порядка включительно:

Порядок уравнения (7) понизится на единиц, если ввести новую функцию

Действительно, после этой замены получим уравнение Если это

уравнение имеет общее решение то для решения исходного уравнения (7) надо проинтегрировать уравнениеЭто уравнение типа (4). Его решение вычисляется последовательным интегрированием.

б) Уравнение, в котором отсутствует в правой части независимая переменная

Здесь для понижения порядка надо ввести новую неизвестную функцию Чтобы не усложнять выкладки, рассмотрим уравнение второго порядка

Сделав замену будем иметь (учесть, что):

При этом уравнение (8) приобретает вид т.е. является уравнением первого порядка. Найдя общее решениеэтого уравнения, получим решение исходного уравнения (8), если проинтегрируем уравнениеРассмотрим примеры.

Пример 2 (Кузнецов Л.А. Типовые расчёты).Найти общее решение дифференциально-

го уравнения

Решение. Так как в уравнении отсутствуют сама функция и ее производная, то делаем

замену . Тогдаи уравнение приобретает вид

Получили линейное однородное уравнение первого порядка. Решаем его методом разделения переменных:

Теперь находим решение исходного уравнения:

Пример 3 (Кузнецов Л.А. Типовые расчеты).Решить задачу Коши

Решение. Так как в уравнении отсутствует независимая переменнаято делаем замену заменуБудем иметь (учесть, что):

Исходное уравнение преобразуется к виду Начальное условие для функции

находим, полагая в этом равенствеТогда

Итак, надо решить задачу Разделяя переменные, получим

Учитывая, что в окрестности точки функцияположительна, будем иметь

Полагая в этом равенствеи учитывая, что, получаем, что

т.е.Значит,

Полагая в этом равенстве и учитывая, чтонайдём, чтоСледовате-

льно, Это и есть ответ.

Лекция 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. Однородные уравнения. Пространство решений, его размерность и базис (фундаментальная система решений). Структура общего решения.

Определитель Вронского. Условия линейной независимости решений однородного линейного дифференциального уравнения

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение

в котором неизвестная функция и все ее производные входят линейным образом (т.е. с целой неотрицательной степенью не выше первой). При этом функцииназываются коэффициентами уравнения (1), а правая часть – неоднородностью этого уравнения. Если в (1) отсутствует неоднородность то уравнение (1) называется однородным. Если же то уравнение (1) называется неоднородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (1) можно записать кратко , если обозначить через–дифференциальный оператор–гo порядка: