АППРОКСИМАЦИЯ

Разложим точное решение в ряд Тейлора в окрестности точки (xj, tn):

unj 1	u(t n , xj h) unj h(ux )inj		h2		(uxx )nj		h3	(uxxx )nj		h4	(uxxxx )nj ,
		2				6			24
unj 1	u(tn , x j ) unj (ut )nj			2
					(utt )nj ,
					2

Подставим эти выражения в разностную схему:

n 1

i

n

n

n

uinj (ut )nj

2

(utt )nij ... u nj

n

2

u j

u j

A

u j 1

2u j

u j 1

F(x j ,t

)

h2

n

n

h2

in

h3

n

h4

n

n

u j

h(ux ) j

(uxx ) j

(uxxx ) j

(uxxxx ) j

2u j

2

6

24

A

h2

(ut

)nj

A(u xx )nj

F(x j

,t n )

τ

(utt )ijn

A

h 2

(u xxxx

2

12

in

n

h2

n

h3

n

h4

n

u j

h(ux ) j

(uxx ) j

(uxxx ) j

(uxxxx ) j

2

6

24

F(x

j

, tn )

h2

)nj .

Главный член погрешности		(utt )nj	A h2	(uxxxx )nj , т.е. схема имеет первый порядок
	2		12

аппроксимации по времени и второй порядок – по пространству.

УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

Известен точный метод решения уравнений в частных производных – метод разделения переменных

Решение представлено в виде ряда Фурье с бесконечным числом слагаемых

Коэффициенты ряда получены путем разложения в ряд Фурье начальных данных

В случае конечно-разностной задачи число членов ряда не бесконечно, а зависит от числа узлов разностной сетки

Для линейных задач можно ограничиться рассмотрением частного решения в

виде одной гармоники unj neij

Коэффициент ρ определяет скорость роста этой гармоники при переходе с n-го временного слоя на (n + 1)-й слой.

Чтобы ошибка не нарастала с течением времени, необходимо, чтобы ρ 1.

Подставим гармонику в разностную схему:	n	e	ij 1			A	ei 2 e i		n	e	ij
							h2				.

УСТОЙЧИВОСТЬ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

Поскольку ei cos( ) i sin( ), то

1

A cos( ) i sin( ) 2 cos( ) i sin( )

h2

2A

cos( ) 1

4A

sin2

1

4A

sin2

;

.

h2

h2

h2

2

2

		A																								1. т.е				1 4 sin					2					1
						– число Куранта. Условие устойчивости:																															2
		h2
												2						1 4 sin2						1					2
1 4 sin2							1				sin						0											sin						2
						2		,		4				2							2						4				2
	4 sin		2															sin	2				1
						0																	2
						2														2
	Выполняется для любого																	Выполняется при											1
																													2

Схемы, которые устойчивы при некотором соотношении шагов, называются

УСЛОВНО УСТОЙЧИВЫМИ в отличие от АЮСОЛЮТНО УСТОЙЧИВЫХ

схем

НЕЯВНАЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

	un 1 un			un 1	2un 1	un 1
	j	j	A	j 1	j	j 1	F(x j ,tn )
:					h2

Схема также имеет погрешность порядка τ1 + h2 и АБСОЛЮТНО УСТОЙЧИВА Рассмотрим семейство схем

u nj 1 u nj			n 1	n 1	n 1		n	n	n
			u j 1	2u j	u j 1		u j 1	2u j	u j 1		F (x j , t n )
	A					(1 )
				h2				h2

1 0 – параметр. При = 0 получим явную, при = 1 – неявную схему

При всех других в каждом разностном уравнении будут завязаны значения неизвестной функции в шести разных точках. за счет выбора параметра можно добиться, чтобы схема имела более высокий порядок аппроксимации.

	При = 0.5) схема имеет порядок аппроксимации τ2 + h2. При					1		h2	порядок
						2		12 A
	аппроксимации τ2 + h4 . Схема устойчива при	1		h2
		2		2
				4A