АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Для нахождения решений используются приближенные методы Дифференциальная задача заменяется системой алгебраических уравнений Три основные группы приближенных методов:

методы конечных разностей

методы конечных объемов

методы конечных элементов

Аппроксимация (от англ. approximation – приближение) характеризует, насколько хорошо разностная задача приближает дифференциальную

Для простых задач аппроксимация может быть исследована аналитически

В сложных случаях аппроксимацию исследуют экспериментально с помощью оценки поведения погрешности при измельчении сетки

Устойчивость: способность решения не накапливать ошибку.

Теорема Лакса: если разностная задача аппроксимирует дифференциальную и устойчива, то при измельчении сетки решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной

УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Описывает процессы распространения тепла, диффузии примеси и др. Уравнение, описывающее распространение тепла в тонком длинном стержне

u	A	2 u		F (x,t) .
t		x	2

А > 0 – коэффициент теплопроводности), u(x, t) – искомое решение (температура), F(x, t) – правая часть, задает источники или стоки тепла.

Будем искать решение в области 0 x L, 0 t T. Начальные данные: u(x, 0) = u0(x)

Три типа краевых условии: первого, второго и третьего рода Условия первого рода: задана зависимость температуры от времени:

u(0, t) = 11(t), u(L, t) = 12(t).

Условия второго рода: заданы тепловые потоки через границы области: ux(0, t) = 21(t), ux(L, t) = 22(t)

Условия третьего рода: комбинация искомой функции и ее производной: u(0, t) + 1ux(0, t) = 31(t), u(L, t) + 2ux(L, t) = 32(t)

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД

Построим в области решения прямоугольную равномерную разностную сетку. Разобьем отрезок [0, T] на N равных частей: ti = n · τ, а отрезок [0, L] – на M

равных частей: xj = jh, h = L/M.

Вместо точного решения u(x, t) будем искать приближенное: uij = u(xj, ti).

На линиях t = 0, x = 0 и x = L решение определено начальными данными и краевыми условиями (3.8)

n 1

n

n 1

n

t

x = xj

ujn

u

(x j

,t

n

)

u(x j ,t

) u(x j ,t

)

u j

u j

,

t = T

t

u j 1n 2u j n u j 1n

2u

(x j ,t n )

u(x j 1 ,t n ) 2u(x j ,t n ) u(x j 1

,t n )

,

t = tn

x2

h2

h2

u n u

n

u n

u n

u

,t i )

u

,t n )

0

x

0

(x0

1

,

(xM

M

M 1

.

x = L

x

x

h

h

ЯВНАЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

Заменим все входящие в уравнение и краевые условия производные их конечноразностными аналогами:

un 1	un		un	2un un
j	j	A	j 1	j	j 1	F(x j ,tn )
				h2

На первом временном слое решение известно: u0j = u(xj, t0) = = u(xj, 0) = u0(xj). Во всех внутренних точках расчетной области оно находится из явных формул

	u j n 1	u j n A	u j 1n 2u j ni u j 1in	F(x j ,t n ),	n 1,	2, ..., N 1,	j 0, 1, ..., M 1.
			h2

Для нахождения решения в крайних точках используем краевые условия Краевые условия первого рода: un0 = 11(ti), unM = 12(ti).

Условия второго рода: un 1 u n 1 h (tn 1), u n 1 un 1 h (tn 1).

0 1 21 M M 1 22

	Условия третьего рода: u0n 1	h 31(tn 1) 1u1n 1	,	uM n 1	2uMn 11 h 32 (tn 1) .
		h 1
					h 2