Хгарм. ‹ хгеомр. ‹ X арифм. ‹ xквадр.

20. Для расчёта моды и медианы необходимо уяснить такие понятия, как дискретный ряд, интервальный ряд, накопление частот.

Накопление частот – число единиц совокупности, полученных суммированием частот всех предшествующих интервалов.

Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в вариационном ряду. Во многих случаях вокруг неё концентрируется большая часть вариантов.

Для дискретных рядов модой будет значение варианты с наибольшей частотой. Для интервальных - сначала определяют модальный интервал, т.е. который имеет наибольшую частоту. Затем определяют моду интервального ряда по формуле: Мо = х₀ + i · (∆₁/(∆₁ + ∆₂)),

где х₀ – нижняя граница интервала; i - размер интервала; ∆₁ - разность между частотой модального и предшествующего ряда; ∆₂ - разность между частотой модального и последующего ряда

Медиана – значение признака, расположенного в средине ранжированного ряда, и делящее этот ряд на две равные части.

Ранжирование - процесс упорядочивания объектов изучения в порядке возрастания или убывания.

Если же ряд чётный, то медианой будет являться средняя из двух центра-льных значений. В дискретном ряду вначале определяют номер медианной единицы по формуле: N_Ме = (n+1)/2, где n – объём единиц совокупности.

Далее по наколенным частотам определяют медиану.

В интервальном – вначале накапливают частоты, далее определяют полусумму частот (1/2Σ f), затем устанавливают медианный интервал (что соответствует первому значению накопленной частоты, превысившей полусумму общего числа). Далее по формуле: Me = x₀ – i ∙ ((1/2Σf – S_m-1)/f_Ме), где х₀ – нижняя граница интервала; i - размер интервала; 1/2Σ f – полусумма частот; S_m-1 - частота, накопленная до медианного ряда; f_Ме – частота медианного интервала.

Главное свойство медианы в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины: Σ│x_i -Me│ = min

22. Вариация признака – наличие различий в численных значениях признаков у отдельных единиц совокупности. Она порождается комплексом условий, дей­ствующих на совокупность и её единицы. - в пространстве –по разным объектам, территориям и т.п.;

- во времени –периоды или моменты времени.

По степени вариации оценивают однородность совокупности, устойчи­вость индивидуальных значений, типичность средней, степень воздействия на данный признак других варьирующих признаков и определяют взаимосвязь между ними.

Абсолютные Размах вариации (R) –

R = x_max - x_min , Его сущность в измерении расстояния между крайними точками. Поэтому

Среднее линейное отклонение (d_ср) – средняя арифметическая из отклонений отдельных значений варьирующего признака от средней величины:

d_ср =∑|х-х_ср|/n (простое); d_ср =(∑|х-х_ср| ƒ) / ∑ƒ (взвешенное)

Данный показатель даёт обобщённую характеристику степени колеблемости признака в совокупности.

Дисперсия (σ²) – средний квадрат отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от их средней величины:

σ² = ∑(х-х_ср)² / ∑n (простая); σ² = (∑(х-х_ср)² ƒ) / ∑ƒ (взвешенная)

Однако вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия даёт Среднеквадратическое отклонение (σ) – наиболее обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности, главное сущностное измерение меры колеблемости:

σ = √∑(х-х_ср)² / ∑n (простое); σ = √(∑(х-х_ср)² ƒ) / ∑ƒ (взвешенное)

Относительный размах вариации (V_R) – отражает относительную меру колеблемости крайних значений признака вокруг средней:V_R =R/х_ср×100.Относительное среднее линейное отклонение (V_d) – отражает долю усреднённого значения абсолютных отклонений от средней величины:V_d = d_ср/х_ср×100.Коэффициент вариации ( V_σ) – наиболее распространённый показатель колеблемости, поскольку среднеквадратическое отклонение даёт наиболее общую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности:V_σ = σ/х_ср×100.Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 10 %, от 10 до 30% – колеблемость средняя, и свыше 30 % – считается неоднородной