10.5. Соленоидальные векторные поля

Определение 6.Векторное поле называетсясоленоидальным в области , если оно дифференцируемо в каждой точке области и .

Данное равенство означает, что соленоидальное поле свободно от источников и стоков. Рассмотрим свойства соленоидальных полей.

Теорема 9.Поток соленоидального в односвязной областивекторного поля через замкнутую поверхность равен нулю.

‰Согласно теореме Остроградского-Гаусса имеем:

. <

Замечание. Для многосвязной области теорема не выполняется.

Теорема 10.Пусть соленоидальное поле в областиV. Тогда поток вектора через любую поверхность , натянутую на заданный контур , не зависит от вида поверхности, а зависит только от контура.

‰Натянем надве поверхностии(рис.14). Тогда между ними есть область, для которой применим формулу Остроградского-Гаусса

,

т.к. _.

Таким образом, получаем

. <

Теорема 11.Поток соленоидального векторного поля через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение.

‰Векторная трубка представляет собой поверхность, образованную из векторных линий поля (рис. 15).

Рис.14

Рис.15

Выберем два произвольных сечения векторной трубки ии получим поверхность, состоящую изии-поверхность трубки междуи. Тогда поток векторного поля через такую поверхность равен

.

Отсюда получаем

,

,

. <

Остановимся еще раз на физическом смысле теоремы:если-поле скоростей частиц жидкости, которое не имеет источников и стоков, то количество жидкости, протекающее за единицу времени через сечение векторной трубки одно и то же для любых сечений.

Теорема 12.У соленоидального векторного поля векторные линии не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля. Они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви.

‰Пусть векторные линии заканчиваются в точке. Следовательно, некоторая векторная трубка заканчивается в точке. Но интенсивность трубки всюду постоянна, поэтому в точке поток должен быть бесконечно большим, что невозможно, т.к. непрерывен в каждой точке. Если предположить, что векторная трубка кончается в области конечным сечением, то в точках сечения поле будет разрывным, что неверно по определению трубки.<

Определение 7.Векторное поле называетсявекторным потенциаломвекторного поля , если поле в областипредставляется как ротор поля ,т.е. для произвольной точки имеет место равенство .

Векторный потенциал определяется с точностью до градиента произвольного скалярного поля . Действительно, пусть , а-произвольное скалярное поле, тогда

.

Теорема 13.(необходимое и достаточное условие соленоидальности). Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал.

‰Достаточность.Пустьимеет векторный потенциал т.е., тогда . Записывая эту формулу в координатах, получим, что.

Для доказательства необходимости надо доказать разрешимость системы

при условии , что выходит за рамки курса.<