Участники алгебраической операции называются операндами.
По числу операндов алгебраические операции подразделяются на:
ОДНОМЕСТНЫЕ или УНАРНЫЕ – один операнд;
ДВУМЕСТНЫЕ или БИНАРНЫЕ – два операнда;
ТРЁХМЕСТНЫЕ или ТЕРНАРНЫЕ – три операнда;
…
N-местные или N-арные – N операндов.
Математика – инструмент познания мира
•Наука математика
•Математический
метод
•Метод
моделирования
•Аксиоматический
метод
•Алгебры
•Логические рассуждения и высказывания
•Исчисление
высказываний
Доказательство в математической теории производится в ходе логических рассуждений.
Правильно построенное рассуждение – СИЛЛОГИЗМ состоит из трёх высказываний: первой посылки;
второй посылки; вывода.
СИЛЛОГИЗМ гарантирует истинность вывода при истинности посылок.
ВЫСКАЗЫВАНИЯ изучаются АЛГЕБРОЙ ЛОГИКИ.
В АЛГЕБРЕ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЯ обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.
Два высказывания эквивалентны по смыслу, если они одновременно истинны или одновременно ложны.
По структуре высказывания бывают: Элементарными высказываниями – соответствуют понятию высказывание; Составными высказываниями – состоят из элементарных высказываний, связанных операциями алгебры логики.
Математика – инструмент познания мира
•Наука математика
•Математический
метод
•Метод
моделирования
•Аксиоматический
метод
•Алгебры
•Логические рассуждения и высказывания
•Исчисление
высказываний
АЛГЕБРА ЛОГИКИ или БУЛЕВА АЛГЕБРА построена Джорджем Булем.
В СИГНАТУРУ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ входят пять алгебраических операций:
{1.отрицание; 2.конъюнкция; 3.дизъюнкция; 4.импликация; 5. эквиваленция.} Операции перечисляются в порядке приоритета (номер в сигнатуре) исполнения.
В алгебру логики операции вводятся таблицей истинности, размерность которой определяется как 2n , где n – число операндов.
1.ОТРИЦАНИЕ – унарная операция первого (высшего) приоритета, инвертирующая значение операнда.
Отрицание операнда соответствует в государственном языке логической связке НЕ, а отрицание алгебраического выражения – “НЕВЕРНО, ЧТО”.
|
__ |
A |
A |
0 |
1 |
1 |
0 |
Двойное отрицание есть само высказывание: A = A.
|
A |
A |
A |
|
|
СТОЛБЦЫ |
0 |
1 |
0 |
РАВНЫ! |
|
1 |
0 |
1 |
|||
|
|
2. КОНЪЮНКЦИЯ (И) - двухместная операция второго приоритета исполнения.
Выражение: A Λ B или A & B читается A и B.
A |
B |
A Λ B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Конъюнкция истинна, если оба операнда истинны. Всё остальное – ложь.
Свойства операции конъюнкция: - коммутативна: A Λ B = B Λ A
-ассоциативна: A ΛBΛC = (A Λ B) Λ C = A Λ (B Λ C)
=(A Λ C) Λ B
- идемпотента: A Λ A = A |
_ |
- с отрицанием тождественно ложна: |
A Λ A = 0 |
2. ДИЗЪЮНКЦИЯ (ИЛИ) - двухместная операция третьего приоритета исполнения.
Выражение: A V B читается A или B.
A |
B |
A V B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция ложна, если оба операнда ложны. Всё остальное истина.
Свойства операции: |
|
Дизъюнкция коммутативна: |
A V B = B V A |
Дизъюнкция ассоциативна: |
|
A V B V C = (A V B) V C = A V (B V C) = (A V C) V B |
|
Дизъюнкция идемпотента: |
A V A = A |
ДИЗЪЮНКЦИЯ дистрибутивна относительно КОНЪЮНКЦИИ:
(A Λ B) V C = (A V C) Λ (B V C) КОНЪЮНКЦИЯ дистрибутивна относительно ДИЗЪЮНКЦИИ:
(A V B) Λ C = (A Λ C) V (B Λ C) Дизъюнкция с отрицанием тождественно истинна:
A V A = 1
ОТРИЦАНИЕ, КОНЪЮНКЦИЯ и ДИЗЪЮНКЦИЯ связаны законами Де Моргана:
Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний:
_______________ __ __
A Λ B = A V B
Отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний:
_______________ |
__ |
__ |
A V B = A Λ B