6.5.2. Закон сохранения заряда

Уравнение непрерывности, по сути, является дифференциальной формой закона сохранения заряда.

Закон сохранения заряда: Всякому изменению электрического заряда внутри объема V, ограниченного поверхностью S, соответствует электрический ток, втекающий или вытекающий из этого объема

.

Для того, чтобы доказать взаимосвязь уравнения непрерывности и закона сохранения полного тока, получим закон сохранения полного тока из уравнения непрерывности. Проинтегрируем уравнение непрерывности по объему:

.

Левую часть преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса, а в правой поменяем местами интегрирование с дифференцированием .

Здесь , а.

Отсюда получаем .

Ранее введенные пределы следует рассматривать в физическом смысле.

6.5.3. Уравнения Максвелла Третье уравнение Максвелла

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса для случая переменных процессов. Поток вектора электрической индукции через поверхность S, ограниченную объемом V, равен заряду внутри объема:

.

Учитывая, что , получим.

Последнее соотношение справедливо, если равны подынтегральные выражения. Отсюда получаем:

(6.5.6)

Полученное соотношение и является третьим уравнением Максвелла.

Развернем дивергенцию в декартовой системе координат:

.

Рисунок 6.5.1 – К пояснению теоремы Остроградского-Гауса.

Анализируя (6) отметим, что истоками или стоками вектора электрического смещения являются свободные электрические заряды. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В отличие от вектора электрического смещения, истоками и стоками другого электрического вектора - вектора напряженностимогут быть как свободные, так и связанные электрические заряды.

(6.5.7)

Подставим (7) в (6):

(6.5.8)

Объемная плотность поляризационных зарядов:

(6.5.9)

Причиной возникновения этой величины является неравномерность поляризации вещества под действием внешнего электрического поля.

Подставляя (9) в (8), получим

(6.5.10)

1. Четвертое уравнение Максвелла

Так как в природе не обнаружено магнитных зарядов и токов, то закон Гаусса и его дифференциальная форма имеют следующий вид

Уравнения показывают, что у магнитного поля нет стоков и истоков, силовые линии замкнуты, поле соленоидальное.

Первое уравнение Максвелла

В среде с постоянным током выделим замкнутый контур и поверхность S, которая опирается на этот контур. Положительное направление обхода контура и положительное направление единичной нормали связаныправилом правого винта. Напряженность магнитного поля можно определить, используя закон полного тока

(6.5.11)

Запишем правую часть в интегральной форме

(6.5.12)

Рисунок 6.5.2 – Математическая связь между потоком вектора через поверхность и циркуляцией вектора по замкнутому контуру.

Левую часть преобразуем по теореме Стокса (поверхность S произвольная):

;

(6.5.13)

Соотношение (13) называется дифференциальной формой закона полного тока для стационарного процесса. Возьмем дивергенцию левой и правой частей

(6.5.14)

Будем рассматривать случай переменного (нестационарный процесс) тока. Должно выполняться соотношение: . Однако выполнялось соотношение (14). Максвелл добавил некую переменную и получил соотношение:;

(6.5.14*)

Используя уравнение непрерывности, получим: .

Воспользуемся третьим уравнением Максвелла:

Полагаем, что функция и ее производная непрерывны в каждой точке пространства. В последнем соотношении поменяем дифференцирование в пространстве и дифференцирование по времени:

;

(6.5.15)

Подставляя (15) в (14*), получим:

(6.5.16)

Выражение (16) является дифференциальной формой закона полного тока для нестационарного процесса. Слагаемое имеет смысл объемной плотности электрического тока. Вектор объемной плотности тока смещения:

;

(6.5.17)

Анализируя (16), Максвелл сформулировал одно из двух своих важнейших своих положений: