6.5.7. Полная система граничных условий.

Граничные условия на поверхности идеального проводника запишутся в виде

(6.5.21)

Отсутствующие граничные условия для векторов имогут быть сформулированы на основании равенства (21) и материальных уравнений:

, .

Частный случай, когда на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды и поверхностные токи, выглядит следующим образом:

(6.5.22)

Система (21) может быть записана в векторной форме

(6.5.23)

Соотношения (21) и (23) применимы в самом общем случае. В ряде случаев эти условия могут быть упрощены. Обычно при решении электродинамических задач, в которых рассматриваются металлические тела, предполагают, что проводимость этих тел равна бесконечности. Известно, что в идеально проводящих средах электромагнитное поле отсутствует. Упрощенно это можно показать следующим образом. Закон Ома в дифференциальной форме

.

В идеально проводящих средах  =. Объемная плотность не может быть равна бесконечности, т.е. приходится предположить, что . Пусть идеально проводящей является 2 среда, тогда соотношения (1) и (3) будут выглядеть:

(6.5.24)

(6.5.25)

Для переменного электромагнитного поля .

Второе уравнение Максвелла: , где.

Это получится, если .

Из соотношений (24) и (25) следует, что на поверхности идеального проводника тангенциальная составляющая и нормальнаяобращаются в нуль.

4. 6.5.8. Баланс энергий электромагнитного поля.

Как и любая форма материи, электромагнитное поле обладает энергией, которая может распространяться в пространстве и преобразоваться в другие виды энергии.

Сформулируем уравнение баланса электромагнитного поля применительно к некоторому объему, ограниченному поверхностью S. Пусть в этом объеме засчет сторонних источников выделяется электромагнитная энергия. Из общефизических соображений очевидно, что мощность сторонних источников будет расходоваться на потери, на изменение энергии и частично будет рассеиваться на поверхности S, уходя во внешнее пространство – рис.6.5.6:

Рисунок 6.5.6 - К пояснению баланса энергии.

(6.5.26)

Для получения количественного соотношения обратимся к уравнениям Максвелла.

В той форме, которую мы использовали, нет возможности учесть потери, обусловленные эффектом поляризации и намагничивания, т.е. по сути, мощность потерь фактически совпадает с мощностью джоулевых потерь, которые связаны с возбуждением токов проводимости.

Для получения количественного уравнения воспользуемся первым уравнением Максвелла

(6.5.27)

Уравнение (27) преобразуем в скалярное и обеспечим размерность слагаемых в ваттах. Указанный алгоритм можно реализовать, если каждое из слагаемых умножить скалярно на и проинтегрировать по объему

(6.5.28)

,

(6.5.29)

(6.5.30)

Осуществим интегрирование по объему выражения (30):

(6.5.31)

Для цилиндрического проводника с током I: .

Рассмотрим элементарный объем dV=dldS, где торцы перпендикулярны линиям тока. Тогда джоулевы потери

Для произвольного объема:

,

далее по дифференциальной форме закона Ома т.е. первый интеграл есть мощность потерь.

Слева стоит мощность сторонних источников: любой электрический ток — это направленное движение заряженных частиц. Этот поток отдает энергию электромагнитному полю в том случае, если частицы попадают в тормозящее электрическое поле. Для того, чтобы поле было тормозящее, необходимо, чтобы скалярное произведение . В этом случае левая часть соотношения (31) будет положительной величиной.

Попытаемся установить второе слагаемое соотношения (31). Для этого мы предположим, что объем V ограничен идеально проводящей, бесконечно тонкой поверхностью S. В этом случае на поверхности S: Е_=0. Кроме того, вектор , входящий в последнее слагаемое, параллелен

Тогда из выражения (31) получается

(6.5.32)

Из (32) следует, что в этом случае мощность сторонних источников может расходоваться только на изменение объема V, т.е. в правой части соотношения (9) стоит скорость изменения энергии внутри объема V, т.е.

энергия внутри объема

(6.5.33)

Рассмотрим последнее слагаемое и проанализируем eго. Будем предполагать следующее: пусть в объеме V отсутствуют потери:  =0; предположим, что энергия внутри объема неизменна , тогда получим

(6.5.34)

Из соотношения (34) видно, что в этом случае мощность сторонних источников, рассеиваясь на поверхности S, уходит во внешнее пространство, т.е. поток вектора через поверхность S есть

.

Таким образом, соотношение (31) является количественным уравнением баланса и называется теоремой Пойнтинга.

Проанализируем несколько частных случаев, которые следуют из теоремы Пойнтинга.

1. Энергия может поступать в объем V не только за счет сторонних источников. Поток энергии, определяемой интегралом , может быть направлен из внешнего пространства внутрь объема V.

2. Сторонние источники могут не только отдавать энергию, а также вбирать энергию электромагнитного поля. Поток заряженных частиц вбирает энергию электромагнитного поля, если он попадает в ускоряющее электрическое поле. При этом скалярное произведение , а левая часть в соотношении (31) становится отрицательной величиной.

3. Пусть поток энергии, определяемый последним слагаемым в соотношении (31), направлен внутрь объема, причем мощность, которая поступает, таким образом, расходуется на джоулевы потери и вбирается сторонним источником так, что энергия внутри объема V остается неизменной. В этом случае соотношение (31) преобразуется к виду :

Так как слева стоит полная поступающая через поверхность энергия, то вектор можно трактовать как плотность потока энергии (вектор Пойнтинга). Вектор Пойнтинга равняется пределу отношения энергии, проходящей за времяt через поверхность S перпендикулярно направлению распространения энергии при S и t, стремящихся к нулю. В изотропных средах направление совпадает с направлением распространения энергии.