- •Лекции по общей теории статистики
- •Тема 1. Введение. Предмет и метод статистической науки
- •1.1. История развития статистической науки
- •1.2. Предмет и метод статистической науки
- •1.3. Организация и функции статистических служб
- •Тема 2. Статистическое наблюдение
- •2.1. Статистическое наблюдение.
- •2.2. Сводка и группировка статистических данных
- •2.3. Принципы построения статистических группировок
- •Тема 3. Статистические показатели
- •3.1. Абсолютные и относительные статистические показатели
- •3.2. Средние величины
- •3.3. Средние структурные величины
- •Тема 4. Вариационные ряды
- •4.1. Понятие вариационных рядов.
- •Графическое отображение вариационных рядов
- •4.2. Показатели вариации
- •4.3. Виды дисперсий в совокупности, разделенной на части. Правило сложения дисперсий
- •Тема 5. Выборочное наблюдение в статистике
- •5.1. Сущность выборочного наблюдения.
- •5.2. Закон больших чисел и предельные теоремы
- •Выборочное наблюдение
- •5.3 Формы организации выборочного наблюдения
- •Тема 6. Статистические методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений
- •6.1. Сущность корреляционной связи.
- •6.2 Корреляционный анализ
- •Оценка линейного коэффициента корреляции
- •Тема 7. Ряды динамики
- •7.1 Анализ динамических рядов
- •7.2 Методы анализа тенденций рядов динамики
- •7.3. Статистические методы прогнозирования экономических показателей
- •Тема 8. Индексы
- •8.1. Сущность и виды индексов
- •8.2. Общие индексы количественных показателей
- •8.3. Общие индексы качественных показателей
- •8.4. Индексы переменного и фиксированного состава. Индекс структурных сдвигов
3.2. Средние величины
Средняя величина является обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку. Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.
Все виды средних делятся на:
степенные(аналитические, порядковые) средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая);
структурные(позиционные) средние (мода и медиана) – применяются для изучения структуры рядов распределения.
Средняя степенная (при различной величине k) определяется:
(3.8).
Таблица 1.1 - Виды средних степенных величин
№ |
Наименование средней |
Формула средней |
Когда используется |
1 |
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) |
(3.9) где xi – i-й вариант осредняемого признака (); n – число вариант |
Используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным |
2 |
Средняя арифметическая взвешенная |
(3.10), где fi – частота повторяемости i-го варианта |
Используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок |
3 |
Средняя гармоническая взвешенная |
(3.11), где . |
Используется, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов |
4 |
Средняя гармоническая невзвешенная |
(3.12) |
Используется в случае, когда веса равны |
5 |
Средняя геометрическая невзвешенная |
(3.13) |
Используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста |
6 |
Средняя геометрическая взвешенная |
(3.14) |
Свойства средней арифметической
Средняя арифметическая постоянной величины равна самой величине.
Если все варианты xiувеличить (уменьшить) на одно и тоже числоc,увеличится (уменьшится) на то же число.
. (3.17)
Если все варианты xiувеличить (уменьшить) в одно и то же число разk,увеличится (уменьшится) в то же число раз.
. (3.18)
Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна 0.
. (3.19)
По свойству 2 при :.
3.3. Средние структурные величины
В условиях недостаточности средних используют структурные средние величины – моду и медиану.
Медиана(Ме) – это вариант, который находится а середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу наблюдений) части. В ранжированных рядах не сгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианта у этого номера.
, (3.20)
где х0– нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
– величина медианного интервала;
– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;
– частота медианного интервала.
Главное свойство медианызаключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:.
Модой (Мо) вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.
Для вычисления моды в интервальномряду сначала находится модальный интервал, имеющий наибольшую частоту (или наибольшую плотность распределения – отношение частоты интервала к его величинеni/hi– в интервальном ряду с неравными интервалами), а значение моды определяется линейной интерполяцией:
, (3.21)
где хо –нижняя граница модального интервала;
– величина модального интервала;
– частота модального интервала;
– частота интервала предшествующая модальныму;
– частота интервала следующего за модальным.