1
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ	5
ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Лекция 1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ	6

1.Система прямоугольных координат на плоскости и в пространстве. Числовая ось. Координаты точки.

2.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении.

3.Преобразование координат.

Лекция 2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

9

1.Уравнение линии на плоскости.

2.Уравнения прямой.

3.Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.

4.Основные формулы, связанные с прямой на плоскости.

5.Неравенства, задающие полуплоскости.

6.Экономические задачи, использующие уравнение прямой.

Лекция 3. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

15

1.Общее уравнение линии второго порядка.

2.Окружность и ее уравнение.

3.Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет.

4.Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты. Эксцентриситет.

5.Каноническое уравнение параболы.

ЧАСТЬ I I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Лекция 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ		n -МЕРНЫЕ		ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА				22

1.Векторы и действия над ними. Понятие векторного пространства.

2.Скалярное произведение векторов и его свойства.

3.Понятие линейной зависимости и независимости векторов.

Лекция 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

25

1.Понятия линейного уравнения и системы линейных уравнений.

2.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Лекция 3. РЕШЕНИЕ РАЗНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ГАУССА

30

1.Применение метода Гаусса к задачам линейной зависимости систем векторов.

2.Индекс цен и индекс инфляции. Ортогональные векторы.

3.Базис пространства Rn .

4.Разложение векторов по базису Rn .

Лекция 4.		МАТРИЦЫ	35
1.	Общие сведения о матрицах.
2.	Перемножение матриц и его свойства.
Лекция 5.		МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	38

1.Матричная запись системы линейных уравнений.

2.Обратная, вырожденная и невырожденная матрицы.

3.Метод Жордана-Гаусса решения матричных уравнений.

4.Решение системы n ×n с помощью обратной матрицы.

Лекция 6. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

42

1. Определители второго и третьего порядков.

		2
2.	Определители порядка n .
3.	Свойства определителей.
Лекция 7. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ		46

1.Геометрические применения определителей.

2.Определитель и обратная матрица.

3.Формулы Крамера для системы линейных уравнений n ×n .

ЧАСТЬ I I I. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

I I I.а ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Лекция 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ		49
1.	Числовая функция и ее график.
2.	Способы задания функции.
3.	Понятия обратной и сложной функции.
4.	Элементарные функции.
Лекция 2. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ		54
1.	Числовая последовательность и ее предел.
2.	Свойства и правила нахождения пределов последовательностей.
3.	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Число e .
Лекция 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ		57
1.	Определение предела функции.
2.	Свойства и правила нахождения пределов функций.
3.	Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
4.	Замечательные пределы. Сравнение функций. Эквивалентные функции.
Лекция 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ		61

1.Точки непрерывности и точки разрыва функции.

2.Непрерывность элементарных функций. Свойства непрерывных функций.

I I I.б ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция 1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

63

1.Определение производной и ее физический смысл.

2.Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.

3.Правила дифференцирования. Производная обратной и сложной функций.

Лекция 2. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ		67
1.	Производные элементарных функций.
2.	Дифференциал.
3.	Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Лекция 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ		70
1.	Предельные величины в экономике.
2.	Эластичность и ее свойства.
3.	Ценовая эластичность спроса.
4.	Распределение налогового бремени.
Лекция 4. ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОНЯТИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ		76

1.Теоремы о промежуточных значениях.

2.Раскрытие основных неопределенностей по правилам Лопиталя.

3.Раскрытие неопределенностей, не относящихся к основным.

Лекция 5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ	К ИССЛЕДОВАНИЮ
ФУНКЦИЙ	81

1. Производные высших порядков.

3

2.Монотонность функции.

3.Экстремум функции.

4.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Лекция 6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

88

1.Выпуклость кривых.

2.Асимптоты.

3.Схема исследования функции и построение ее графика.

I I I.в ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Лекция 1. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

96

1.Понятие функции многих переменных.

2.Предел и непрерывность функции многих переменных.

Лекция 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ		ФУНКЦИЙ	МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ			100

1.Частные производные.

2.Полный дифференциал и дифференцируемость функции.

3.Эластичность функции многих переменных.

4.Частные производные высших порядков.

Лекция 3. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

104

1.Локальный экстремум функции двух переменных и его необходимые условия.

2.Достаточные условия экстремума функции двух переменных.

3.Производная по направлению.

4.Градиент.

Лекция 4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

109

1.Суть метода наименьших квадратов.

2.Расчет параметров линейной функциональной зависимости методом

наименьших квадратов.

I I I.г ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Лекция 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

113

1.Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2.Свойства неопределенного интеграла.

3.Таблица основных интегралов.

Лекция 2.		МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ	116
1.	Интегрирование методом замены переменной.
2.	Метод интегрирования по частям.
Лекция 3.		ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ	119

1.Интегрирование рациональных функций.

2.Интегрирование тригонометрических функций.

Лекция 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ		123
1.	Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
2.	Понятие определенного интеграла.
3.	Свойства определенного интеграла.
4.	Формула Ньютона-Лейбница.
Лекция 5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ		129

1.Метод замены переменной в определенном интеграле.

2.Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

		4
3.	Несобственные интегралы.
4.	Приближенное вычисление определенных интегралов.
Лекция 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА		135

1.Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

2.Вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

3.Вычисления длины кривой с помощью определенного интеграла.

	I I I.д РЯДЫ
Лекция 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ	139

1.Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости ряда.

2.Достаточные признаки сходимости рядов (радикальный и интегральный признаки Коши, признак сравнения, признак Д’Аламбера).

Лекция 2. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

143

1.Знакопеременные ряды.

2.Степенные ряды.

3.Ряды Маклорена и Тейлора.

4.Разложение в ряды элементарных функцій.

5.Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.

ЧАСТЬ I V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Лекция 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

147

1.Общие сведения о дифференциальных уравнениях.

2.Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.

3.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Лекция 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

151

1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

2.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

3.Частные решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений

второго порядка с постоянными коэффициентами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ	159
ЛИТЕРАТУРА	160

5

ВВЕДЕНИЕ

В любом из учебных экономических курсов в той или иной мере используется математический аппарат: анализируются графики зависимостей, обрабатываются статистические данные, ставятся и решаются задачи рационального выбора и т.д. Все это требует глубокого знания высшей математики.

Данный курс состоит из следующих частей: аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения. Лекции содержат большое количество примеров.